Croissance comparée des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de « formes indéterminées » par la méthode usuelle pour la limite d'un produit ou d'un quotient.

Énoncé

Plus généralement, pour tous réels strictement positifs Modèle:Math et Modèle:Math,

L'hypothèse Modèle:Math est indispensable. Supposer de plus Modèle:Math est en fait inutile (pour Modèle:Math, les limites considérées ne sont pas des formes indéterminées).

Démonstrations

On peut s'appuyer sur le cas particulier suivant de (1), dont plusieurs preuves sont indiquées dans l'article détaillé : Modèle:Retrait En choisissant Modèle:Math, on obtient en effet :

1. en posant Modèle:Math :Modèle:Retrait
2. en posant Modèle:Math :Modèle:Retrait
3. en posant Modèle:Math :Modèle:Retrait
4. en posant Modèle:Math :Modèle:Retrait

Chacune des quatre limites peut aussi se déduire de n'importe laquelle des trois autres par changement de variable.

Voir aussi

• Limites de référence
• Limite (mathématiques)
• Limite (mathématiques élémentaires)