Dipôle magnétique d'une sphère

Soit une sphère, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant de surface $\overrightarrow{j_S}(P)=j_{0}sin\theta \cdot \overrightarrow{u_{\varphi }}$, de moment magnétique $\overrightarrow{m}=j_{0}V\cdot \overrightarrow{u_z}$, avec V volume de la boule.

Plus précisément :

$\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^{2}r[\overrightarrow{r}\wedge \overrightarrow{j_s}(\overrightarrow{r})]=j_{0}V\overrightarrow{u_z}$

Champ magnétique extérieur

Si r >> R, il est clair que B(M) est celui créé par m.

Très étonnant : c'est vrai pour tout r > R !

Soit : $\overrightarrow{B}(M)=\frac{{\mu }_0𝔪}{4\pi r^3}(2\cos (\theta ){\overrightarrow{u}}_r+\sin (\theta ){\overrightarrow{u}}_{\theta })=\frac{{\mu }_0}{4\pi \cdot r^3}\cdot (3\overrightarrow{u_r}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{u_r})-\overrightarrow{m})$

qu'on peut écrire :

$\overrightarrow{B}(M)={\mu }_0{j}_0\frac{R^3}{r^3}\cdot (\overrightarrow{u_r}(\overrightarrow{u_z}\cdot \overrightarrow{u_r})-\frac{1}{3}\overrightarrow{u_z})$

Champ magnétique intérieur

Bien sûr, la distribution de courant fait penser à celle d'un solénoïde. En effet, le courant s'annule juste sur les bords, de manière que le champ à l'intérieur soit uniforme :

$B(M)=B(O)=B_{externe}(0,0,R)$ par continuité de la composante normale de B.

$\overrightarrow{B}(M)=\frac{{\mu }_0\overrightarrow{m}}{2\pi R^3}=\frac{2{\mu }_0{j}_0}{3}\overrightarrow{u_z}$

Démonstration

La distribution de courant est à support compact : la solution existe et est unique. Il suffit donc de vérifier que la solution donnée satisfait bien à div B = 0 , rot B = 0 et aux conditions aux limites à l'infini (vrai) et sur la sphère, on a :

$[B_{ext}-B_{int}]\wedge u_r(P)=-\frac{3{\mu }_0\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{u_r}}{4\pi R^3}=-\frac{3{\mu }_{0}m.sin(\theta )}{4\pi R^3}\overrightarrow{u_{\varphi }}=-{\mu }_0\overrightarrow{j_S}$.

ou encore :

$[B_{ext}-B_{int}]={\mu }_0\overrightarrow{j_S}\wedge \overrightarrow{u_r}$

On pourra vérifier que la circulation sur une ligne de champ fermée quelconque satisfait bien le théorème d'Ampère.

Conclusion

Si R devient minuscule, et $j_0$ très grand, m joue le rôle d'une singularité en O, mais B n'y est pas infini, et son intégrale sur la boule vaut ($\frac{8\pi }{3}\overrightarrow{m}$ ) : on prend l'habitude de dire qu'un moment dipolaire par unité de volume $J$ (en A/m) crée donc le champ d'un dipôle $+\overrightarrow{m}\frac{8\pi }{3}\delta (r)$

On comparera avec le dipôle électrostatique d'une boule.

Annexes

Articles connexes

• moment magnétique
• magnétostatique
• Milieu magnétique
• Milieu diélectrique
• dipôle électrostatique d'une boule

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