Dipôle électrostatique d'une boule

Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme, donc de moment dipolaire $\overrightarrow{p}=Vol\cdot \overrightarrow{P}$. Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d'une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution $\sigma (\theta )=Pcos\theta$.

Champ et potentiel créés

Il est extraordinaire de constater que cela est vrai pour tout r > R !

$\overrightarrow{E}(M)=\frac{p}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}\cdot (2\cos \theta \overrightarrow{u_r}+\sin \theta \overrightarrow{u_{\theta }})=\frac{P}{3{ϵ}_0}\frac{R^3}{r^3}\cdot (2\cos \theta \overrightarrow{u_r}+\sin \theta \overrightarrow{u_{\theta }})$

ou encore :

$\overrightarrow{E}(M)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0\cdot r^3}\cdot (3\overrightarrow{u_r}(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u_r})-\overrightarrow{p})=\frac{R^3}{{ϵ}_0\cdot r^3}\cdot (\overrightarrow{u_r}(\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{u_r})-\frac{1}{3}\overrightarrow{P})$

Pour r < R, le champ est uniforme :

$\overrightarrow{E_0}=-\overrightarrow{P}/3{ϵ}_o=\frac{P}{3{ϵ}_0}\cdot (-cos\theta \overrightarrow{u_r}+\sin \theta \overrightarrow{u_{\theta }})$

Le diagramme électrique est donc évident à tracer.

On obtient donc les potentiels suivants :

(r>R) :$V(M)=\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}=\frac{R^3}{r^3}\frac{\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{r}}{3{\epsilon }_0}$

(r<R) :$V(M)=\frac{\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{r}}{3{ϵ}_o}$

Démonstration

On peut faire le calcul ; mais la démonstration la plus rapide est "bluffante" : la solution existe et est unique ; il suffit donc de vérifier que div E = 0 et rot E = 0, et que les conditions limite à l'infini sont réalisées (c'est exact) et sur la sphère aussi :

$E_{ext}-E_{int}=\frac{Pcos(\theta )}{{ϵ}_o}.\overrightarrow{u_r}=\frac{\sigma (P)}{{ϵ}_o}.\overrightarrow{n}(P)$(c'est exact aussi).

Cas-limite R tendant vers zéro

On a, à ce moment-là, pour le petit volume V, où l'intégrale du champ vaut Vol.Eo = - P/3${ϵ}_o$ par -4$\pi /3$.p. $\delta (r)$.

Au total $\overrightarrow{E}(M)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_o}[\frac{1}{r^3}(3(\overrightarrow{p}\overrightarrow{u})\overrightarrow{u}-\overrightarrow{p})-\frac{4\pi }{3}\overrightarrow{p}\cdot \delta (r)$]

Voir aussi

• électrostatique
• dipôle électrostatique
• dipôle magnétique d'une sphère