Ensemble totalement ordonné

Modèle:Article court En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.

Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre $⪯$. Rappelons que toute relation d'ordre $⪯$ vérifie les propriétés suivantes :

• (réflexivité) $\mathrm{\forall }x,x⪯x$ ;
• (transitivité) $\mathrm{\forall }x,y,z,(x⪯y\mathrm{e}\mathrm{t}y⪯z)\Rightarrow x⪯z$ ;
• (antisymétrie) $\mathrm{\forall }x,y,(x⪯y\mathrm{e}\mathrm{t}y⪯x)\Rightarrow x=y$.

$(E,⪯)$ est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de $(E,⪯)$ sont comparables pour $⪯$ :

• $\mathrm{\forall }x,y,(x⪯y\mathrm{o}\mathrm{u}y⪯x)$.

Exemples

1. L'ensemble $E=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ des parties de $\{1,2\}$ est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, $E$ n'est pas totalement ordonné : $\{1\}$ et $\{2\}$ ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
2. L'ensemble $ℝ$ des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle $\le$ est totalement ordonné.