f[n_, b_, x_] := If[n == 0, b, -((2 (-1)^n)/(3 n)) Sin[n x] + b]
n = 3;
p0 = Table[Table[
    Plot[{Sum[f[j, 0, x], {j, 0, n - 1}], 
      Max[f[n, 2.5 - 4 t^2, x], 
       Sum[f[j, 0, x], {j, 0, n}]] }, {x, -3 \[Pi], 3 \[Pi]}, 
     PlotRange -> {-1.6, 2}, 
     PlotStyle -> {Directive[Thick, Opacity[1 - t], Black], 
       Directive[Thick, Black]}, Axes -> False, PlotPoints -> 100]
    , {t, 0, 1, 0.1}], {n, 1, 20}];
ListAnimate[Flatten[p0]]

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