Filtration (probabilités)

En théorie des probabilités, une filtration est une famille de tribus dans l'ordre croissant et chaque prédécesseur est un sous-ensemble du successeur, c'est-à-dire

${ℱ}_s\subseteq {ℱ}_t,s\le t$

pour les éléments de filtration $({ℱ}_t{)}_{t\in T}$.

Avec la filtration on modélise le flux d'informations. Chaque élément ${ℱ}_t$ de la famille a l'information sur les événements qui étaient observables au temps $t$.

Definition

Soient $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ un espace de probabilité et $T\subseteq {ℝ}_{\ge 0}$.

La famille $𝔽:=({ℱ}_t{)}_{t\in T}$ des sous-tribu ${ℱ}_t\subseteq ℱ$ est une filtration si ordonnée par ordre croissant, cela signifie

${ℱ}_s\subseteq {ℱ}_t$

pour tout $s\le t$.

$(\mathrm{\Omega },ℱ,𝔽,P)$ est un espace de probabilité filtré.

Caractérisations de filtration

Filtration naturelle

Soit $X=(X_t{)}_{t\in T}$ un processus stochastique. La filtration naturelle est ${ℱ}_t^0:=\sigma (X_s,s\le t)$. C'est la filtration minimale telle que $X$ soit adapté.

Filtration continue

Soit $𝔽:=({ℱ}_t{)}_{t\in T}$ une filtration. On définit

${ℱ}_{t^{-}}:=\underset{s<t}{\bigvee }{ℱ}_s=\sigma \left(\bigcup _{s<t}{ℱ}_s\right),{ℱ}_{t^{+}}:=\bigcap _{s>t}{ℱ}_s,$

on a toujours

${ℱ}_{t^{-}}\subseteq {ℱ}_t\subseteq {ℱ}_{t^{+}}$.

On définit

${𝔽}^{-}:=({ℱ}_{t^{-}}{)}_{t\in T},{𝔽}^{+}:=({ℱ}_{t^{+}}{)}_{t\in T}.$

• On appelle $𝔽$ filtration continue à gauche, si

$𝔽={𝔽}^{-}$, c'est-à-dire ${ℱ}_t={ℱ}_{t^{-}}$ pour tout $t\in T.$

• On appelle $𝔽$ filtration continue à droite, si

$𝔽={𝔽}^{+}$, c'est-à-dire ${ℱ}_t={ℱ}_{t^{+}}$ pour tout $t\in T.$

• On appelle $𝔽$ filtration continue, si

$𝔽={𝔽}^{-}={𝔽}^{+}.$

On définit également

${ℱ}_{\mathrm{\infty }}:=\underset{t\in T}{\bigvee }{ℱ}_{t^{-}}=\underset{t\in T}{\bigvee }{ℱ}_t=\underset{t\in T}{\bigvee }{ℱ}_{t^{+}}.$

Filtration augmentée

Pour un espace de probabilité $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ nous définissons l'ensemble $P$-négligeable

$𝒩=\{A\subset \mathrm{\Omega }:\text{ il y a un }B\in ℱ\text{ avec }A\subset B\text{ et }P(B)=0\}.$

La filtration $\widehat{𝔽}=({\widehat{ℱ}}_t{)}_{t\in T}$ avec

${\widehat{ℱ}}_t:=\sigma ({ℱ}_t\cup 𝒩)$

est appelé filtration augmentée.

Conditions habituelles

Pour un espace de probabilité filtré $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝔽,P)$ on dit que les conditions usuelles sont satisfaites si $𝔽$ est continue à droite et contient tout l'ensemble négligeable, c'est-à-dire

$𝔽={𝔽}_{t+}=\widehat{𝔽}.$

Bibliographie

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Remarques

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