Fonction de Bessel sphérique

En analyse, les fonctions de Bessel sphériques sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques et qui interviennent dans certains problèmes possédant une symétrie sphérique.

Elles sont définies par :

j_{n} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} J_{n + \frac{1}{2}} (x),

y_{n} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} Y_{n + \frac{1}{2}} (x) = (- 1)^{n + 1} \sqrt{\frac{π}{2 x}} J_{- n - \frac{1}{2}} (x) .

En particulier, $j_{0}$ correspond à la fonction sinus cardinal :

j_{0} (x) = s i n c (x) = \frac{\sin (x)}{x} .

On peut également définir, sur le même principe, les fonctions de Hankel sphériques :

h_{n}^{(1)} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} H_{n + \frac{1}{2}}^{(1)} (x) = j_{n} (x) + i y_{n} (x),

h_{n}^{(2)} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} H_{n + \frac{1}{2}}^{(2)} (x) = j_{n} (x) - i y_{n} (x) .

Propriétés

On peut définir les fonctions de Bessel sphériques par la formule de Rayleigh :

j_{n} (x) = (- x)^{n} {(\frac{1}{x} \frac{d}{d x})}^{n} \frac{\sin (x)}{x},

y_{n} (x) = - (- x)^{n} {(\frac{1}{x} \frac{d}{d x})}^{n} \frac{\cos (x)}{x} .

Les fonctions génératrices des fonctions de Bessel sphériques sont :

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{t^{n}}{n!} j_{n - 1} (x) = \frac{\cos (\sqrt{x^{2} - 2 x t})}{x},

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- t)^{n}}{n!} y_{n - 1} (x) = \frac{\sin (\sqrt{x^{2} + 2 x t})}{x} .

Ces fonctions sont les solutions de la partie radiale de l'équation de Helmholtz en coordonnées sphériques, obtenue par séparation des variables :

x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 x \frac{d y}{d x} + (x^{2} - n (n + 1)) y = 0 .