Indiscernabilité topologique

Soit X un espace topologique et x et y des éléments de X.

On dit que x et y sont (topologiquement) indiscernables si tout voisinage de x contient y et si tout voisinage de y contient x.

À l'inverse, on dit que x et y sont (topologiquement) discernables s'ils ne sont pas indiscernables. Plus précisément, s'il existe un voisinage de x qui ne contient pas y ou s'il existe un voisinage de y qui ne contient pas x.

Il est évident que deux éléments discernables doivent être distincts (car x appartient à tout voisinage de x). Réciproquement, si tous x et y distincts sont discernables, X est dit [[Espace T0|TModèle:Ind]].

La relation « sont indiscernables » est une relation d'équivalence.

Propriétés

Relation d'équivalence

Notons $ℛ$ la relation binaire « sont indiscernables ». En notant $⪯$ le préordre de spécialisation, on voit alors facilement que l'on a :

$\mathrm{\forall }x,y\in X,xℛy\iff (x⪯y)\wedge (y⪯x)$

Ainsi nous rendons-nous compte que $ℛ$ est une relation d'équivalence : celle naturellement associée au préordre.

Caractérisations

Soit $x,y\in X$.

Les assertions suivantes sont équivalentes :

• $x$ et $y$ sont indiscernables ;
• $\mathrm{\forall }{V}_x\in 𝒱(x),\mathrm{\forall }{V}_y\in 𝒱(y),(y\in V_x)\wedge (x\in V_y)$ ;
• $(x⪯y)\wedge (y⪯x)$ ;
• $\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}$.

Voir aussi

Articles connexes

• Axiomes de séparation (topologie)
• [[Espace T0|Espaces TModèle:Ind]]