Intégrale de Stratonovich

En calcul stochastique, l'intégrale de Stratonovich (aussi intégrale de Fisk-Stratonovich) est un type d'intégrale stochastique. Contrairement à l'intégrale d'Itô, où seul le point final gauche de l'intervalle de décomposition est nécessaire pour la construction

$\sum Y_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}),$

dans l'intégrale de Stratonovich, on utilise la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite

$\sum \frac{1}{2}(Y_{t_i}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).$

L'avantage de l'intégrale de Stratonovich sur l'intégrale d'Itô est que la formule d'Itô n'a que des différentiels du premier ordre.

L'intégrale de Fisk-Stratonovich porte le nom de Ruslan Stratonovich et Donald Fisk.

Intégrale de Stratonovich pour les semi-martingales

Soit $X$ et $Y$ des semi-martingales et $t\ge 0$. LModèle:'intégrale de Stratonovich de Y par rapport à X est définie comme

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}\circ d{X}_s:& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t-\frac{1}{2}\sum _{s\le t}\mathrm{\Delta }{Y}_s\mathrm{\Delta }{X}_s\\ & =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t^c.\end{array}$

La première expression à droite est juste l'intégrale d'Itô.

Pour les semi-martingales continues

Si $X$ et $Y$ sont des semi-martingales continues, alors

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\circ d{X}_s:=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s}d{X}_s+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t=(Y\cdot X{)}_t+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t,$

ou sous forme différentielle

$Y_t\circ d{X}_t:=Y_{t}d{X}_t+\frac{1}{2}d[Y,X{]}_t.$

Remarques

• La définition de l'intégrale de Stratonovich peut être généralisée, de sorte que Y n'est plus une semi-martingale, mais simplement adaptée et càdlàg.

Dérivation

L'intégrale de Stratonovich est obtenue en prenant la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite de l'intervalle de décomposition. Soit $\mathrm{\Delta }$ une subdivision de $[0,t]$ et soit $X,Y$ des semi-martingales continues. S'applique alors

$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\circ d{X}_s=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{|\mathrm{\Delta }|\to 0}\sum _{i=1}^n\frac{Y_{t_i}+Y_{t_{i-1}}}{2}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).\end{array}$

Relation entre l'intégrale de Itô et de Stratonovich

On a la relation suivante :

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}\circ d{X}_s-\frac{1}{2}[Y,X{]}_t^c.$

Si X et Y sont des semi-martingales continues

$(Y\cdot X{)}_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\circ d{X}_s-\frac{1}{2}[Y,X{]}_t.$

Formule d'Itô

Soit $X=(X^1,\dots ,X^n)$ une ${ℝ}^n$-semi-martingale et $f\in C^2({ℝ}^n,ℝ)$, alors

$f(X_t)-f(X_0)=\sum _{i=1}^n\underset{0+}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_{s-})\circ d{X}_s^i+\sum _{0<s\le t}(f(X_s)-f(X_{s-})-\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i)$.

Pour les semimartingales continue

Soit $X=(X^1,\dots ,X^n)$ une ${ℝ}^n$-semi-martingale continue et $f\in C^2({ℝ}^n,ℝ)$, alors

$f(X_t)-f(X_0)=\sum _{i=1}^n\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_s)\circ d{X}_s^i.$

Généralisations

Une généralisation pour les semi-martingales avec sauts est l'intégrale de Marcus, qui est obtenue en réécrivant le terme de saut.

Bibliographie

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