Inégalité d'Olech-Opial

En mathématiques, lModèle:'inégalité d'Olech-Opial, connue aussi sous le nom dModèle:'inégalité d'Opial ou inégalité d'Olech-Opial-Beesack ou inégalité d'Olech-Opial-Levinson, se rencontre dans l'étude des problèmes aux limites en calcul différentiel. Elle porte le nom du mathématicien polonais Czesław Olech.

Énoncé

L'inégalité d'Olech-Opial s'énonce ainsi: Modèle:Théorème

Démonstration

On donnera la démonstration de Mallows, plus courte que les originales. On pose $g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}|f^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$, de sorte que $\mathrm{\forall }x\in [0,a],|f(x)|⩽g(x)$. Ainsi :

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f(x)f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x⩽\underset{0}{\overset{a}{\int }}g(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{g(a{)}^2}{2}.$

Or, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :

$g(a{)}^2={(\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f^{\prime }(t)|\mathrm{d}t)}^2={(\underset{0}{\overset{a}{\int }}1\times |f^{\prime }(t)|\mathrm{d}t)}^2⩽\underset{0}{\overset{a}{\int }}\mathrm{d}t\times \underset{0}{\overset{a}{\int }}|f^{\prime }(t){|}^2\mathrm{d}t=a\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f^{\prime }(t){|}^2\mathrm{d}t.$

ce qui permet de conclure.

Historique

Opial prouve l'inégalité en 1960 et Olech montre qu'elle reste valide dans des conditions plus faibles (pour Modèle:Mvar non plus continue mais seulement de carré Lebesgue-intégrableModèle:,). Beesack et Levinson sont parmi les premiers à donner des démonstrations plus simples de l'inégalité, ce dernier étendant le résultat aux fonctions à valeurs complexes.

Applications

L'inégalité d'Olech-Opial et ses variantes sont utilisées dans l'études des solutions d'équations intégro-différentielles et de problèmes aux limites.

Voir aussi

• Inégalité de Cauchy-Schwarz
• Inégalité de Wirtinger