Inégalité de Remez

En mathématiques, l'inégalité de Remez, découverte par le mathématicien soviétique Evgeny Yakovlevich Remez Modèle:Référence Harvard, donne une majoration sur les normes supremum de certains polynômes, la majoration étant atteinte par les polynômes de Tchebychev.

Énoncé de l'inégalité

Soit $\sigma$ un nombre positif fixé arbitraire. Définissons la classe de polynômes ${\pi }_n(\sigma )$ comme étant l'ensemble des polynômes $p$ de degré $n$ tels que

$|p(x)|\le 1$

sur un ensemble de mesure $⩾2$ contenues dans l'intervalle fermé $[-1,1+\sigma ]$. L'inégalité de Remez affirme alors

$$\underset{p\in {\pi }_n(\sigma )}{\sup }\Vert p{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert T_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$

où $T_n(x)$ est le polynôme de Tchebychev de degré $n$ et la norme supremum est prise sur l'intervalle $[-1,1+\sigma ]$.

Puisque $T_n$ est croissant sur $[1,+\mathrm{\infty }]$, on a

$\Vert T_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=T_n(1+\sigma ).$

L'inégalité de Remez, combinée à une estimation des polynômes de Tchebychev, implique le corollaire suivant : si $J\subset ℝ$ est un intervalle fini, et $E\subset J$ est un ensemble mesurable arbitraire, alors

$$\underset{x\in J}{\max }|p(x)|⩽{\left(\frac{4\text{mes}(J)}{\text{mes}(E)}\right)}^n\underset{x\in E}{\sup }|p(x)|(*)$$

pour tout polynôme $p$ de degré $n$ .

Extensions : lemme de Nazarov – Turán

Des inégalités similaires à ( _* ) ont été prouvées pour différentes classes de fonctions et sont connues sous le nom d'inégalités de type Remez. Un exemple important est l'inégalité de Nazarov pour les sommes exponentielles Modèle:Référence Harvard  :

L'inégalité de Nazarov. Soit

$p(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k{e}^{{\lambda }_{k}x}$

une somme exponentielle (avec des ${\lambda }_k\in ℂ$ arbitraires ), $J\subset ℝ$ un intervalle fini et $E\subset J$ un ensemble mesurable arbitraire. On a alors

$\underset{x\in J}{\max }|p(x)|⩽e^{\underset{k}{\max }|\mathrm{\Re }e({\lambda }_k)|\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}{\left(\frac{C\text{mes}(J)}{\text{mes}(E)}\right)}^{n-1}\underset{x\in E}{\sup }|p(x)|,$

où $C>0$ est une constante numérique.

Dans le cas particulier où ${\lambda }_k$ sont à la fois des imaginaires purs et des entiers (sous-entendu au facteur complexe $i$ près) et que le sous-ensemble $E$ est lui-même un intervalle, l'inégalité a été prouvée par Pál Turán et est connue sous le nom de lemme de Turán.

Cette inégalité s'étend également aux espaces $L^p(𝕋),0\le p\le 2$ de la manière suivante

$\Vert p{\Vert }_{L^p(𝕋)}⩽e^{A(n-1)\text{mes}(𝕋\setminus E)}\Vert p{\Vert }_{L^p(E)}$

pour A > 0 indépendant de $p$, $E$ et $n$. Quand

$$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E)<1-\frac{\log n}{n}$$

une inégalité similaire est vraie pour $p>2$. Pour $p=\mathrm{\infty }$, il existe une extension aux polynômes multidimensionnels.

Preuve : en appliquant le lemme de Nazarov à l'ensemble$E=E_{\lambda }=\{x:|p(x)|\le \lambda \}(\lambda >0),$ on obtient l'inégalité

$$\underset{x\in J}{\max }|p(x)|\le e^{\underset{k}{\max }|\mathrm{\Re }e({\lambda }_k)|\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}{\left(\frac{C\text{mes}(J)}{\text{mes}(E_{\lambda })}\right)}^{n-1}\underset{x\in E_{\lambda }}{\sup }|p(x)|⩽e^{\underset{k}{\max }|\mathrm{\Re }e({\lambda }_k)|\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}{\left(\frac{C\text{mes}(J)}{\text{mes}(E_{\lambda })}\right)}^{n-1}\lambda$$

d'où

$$\text{mes}(E_{\lambda })⩽C\text{mes}(J){\left(\frac{\lambda e^{\underset{k}{\max }|\mathrm{\Re }e({\lambda }_k)|\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}}{\underset{x\in J}{\max }|p(x)|}\right)}^{\frac{1}{n-1}}.$$

Maintenant, fixons un ensemble $E$ et choisissons $\lambda$ tel que $\text{mes}(E_{\lambda })⩽\frac{1}{2}\text{mes}(E)$, c'est-à-dire

$$\lambda ={\left(\frac{\text{mes}(E)}{2C\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}\right)}^{n-1}{e}^{-\underset{k}{\max }|\mathrm{\Re }e({\lambda }_k)|\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}\underset{x\in J}{\max }|p(x)|$$

Notons que cela implique :

1. $\text{mes}(E\setminus E_{\lambda })⩾\frac{1}{2}\text{mes}(E)$ .
2. $\mathrm{\forall }x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda$ .

Maintenant

$$\begin{array}{cc}\underset{x\in E}{\int }|p(x){|}^p\text{d}x& \ge \underset{x\in E\setminus E_{\lambda }}{\int }|p(x){|}^p\text{d}x\\ & ⩾{\lambda }^p\frac{1}{2}\text{mes}(E)\\ & =\frac{1}{2}\text{mes}(E){\left(\frac{\text{mes}(E)}{2C\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}\right)}^{p(n-1)}{e}^{-p\underset{k}{\max }|\mathrm{\Re }e({\lambda }_k)|\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}\underset{x\in J}{\max }|p(x){|}^p\\ & ⩾\frac{1}{2}\frac{\text{mes}(E)}{\text{mes}(J)}{\left(\frac{\text{mes}(E)}{2C\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}\right)}^{p(n-1)}{e}^{-p\underset{k}{\max }|\mathrm{\Re }e({\lambda }_k)|\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(J)}\underset{x\in J}{\int }|p(x){|}^p\text{d}x,\end{array}$$

ce qui complète la preuve.

L'inégalité de Pólya

L'un des corollaires de l'inégalité de Remez est l'inégalité de Pólya, qui a été prouvée par George Pólya Modèle:Référence Harvard et qui énonce que la mesure de Lebesgue d'un ensemble de sous-niveau d'un polynôme $n$ de degré $n$ est bornée en fonction de son coefficient dominant $CD(p)$ comme suit :

$$\text{mes}\left(\{x\in ℝ\mid |P(x)|\le a\}\right)⩽4{\left(\frac{a}{2\mathrm{C}\mathrm{D}(p)}\right)}^{1/n},a>0.$$

Références

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