Inégalité de Schur

En mathématiques, l’inégalité de Schur, portant le nom du mathématicien Issaï Schur, est une inégalité concernant les nombres réels.

Énoncé

Soit $a,b,c$ des nombres réels strictement positifs et $\lambda$ un réel quelconque, alors :

$A=a^{\lambda }(a-b)(a-c)+b^{\lambda }(b-c)(b-a)+c^{\lambda }(c-a)(c-b)⩾0.$

avec égalité si et seulement si $a,b,c$ sont égaux.

Démonstration

Quitte à permuter les variables, on peut supposer $c⩽b⩽a$.

• Si $\lambda ⩾0$ :

$\{\begin{array}{c}A=(a-b)(a^{\lambda }(a-c)-b^{\lambda }(b-c))+c^{\lambda }(a-c)(b-c)⩾(a-b)(a^{\lambda }(a-c)-b^{\lambda }(a-c))+c^{\lambda }(a-c)(b-c)\\ A⩾(a-b)(a-c)(a^{\lambda }-b^{\lambda })+c^{\lambda }(a-c)(b-c)⩾(a-b)(a-c)(a^{\lambda }-b^{\lambda })⩾0.\end{array}$

Le cas d'égalité s'obtient bien pour $a=b=c$.

• Si $\lambda <0$ :

$\{\begin{array}{c}A=a^{\lambda }(a-b)(a-c)+(b-c)((a-c)c^{\lambda }-(a-b)b^{\lambda })\\ A⩾(b-c)(a-c)(c^{\lambda }-b^{\lambda })⩾0.\end{array}$

Le cas d'égalité s'obtient aussi pour $a=b=c$.

Cas particulier

Dans le cas $\lambda =1$, l'inégalité de Schur se réécrit sous les formes suivantes :

• $a^3+b^3+c^3+3abc⩾ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (développer $A$)
• $abc⩾(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
• $9abc+(a+b+c{)}^3⩾4(ab+bc+ca)(a+b+c)$

La deuxième forme, dans le cas où $a,b,c$ sont les longueurs des côtés d'un triangle, s'écrit, compte tenu de la formule de Héron : $16S^2⩽abc(a+b+c)$ où $S$ est l'aire du triangle.

Et compte tenu des expressions des formules des rayons $R,r$ des cercles circonscrit et inscrit : $R=\frac{abc}{4S}$ et $r=\frac{2S}{a+b+c}$, l'inégalité de Schur est donc équivalente à l'inégalité d'Euler : $R⩾2r$.