Polynôme de Gegenbauer

Fichier:Plot of the Gegenbauer polynomial C n^(m)(x) with n=10 and m=1 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg

Tracé du polynôme de Gegenbauer Modèle:Math pour n=10 et m=1 sur le plan complexe entre -2-2i et 2+2i

En mathématiques, les polynômes de Gegenbauer ou polynômes ultrasphériques sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont nommés ainsi en l'honneur de Leopold Gegenbauer (1849-1903). Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha {)}^{\underset{\_}{n}}}{n!}{}_2{F}_1(-n,2\alpha +n;\alpha +\frac{1}{2};\frac{1-z}{2})$

où Modèle:Underline est la factorielle décroissante.

Propriétés

Orthogonalité

Les polynômes de Gegenbauer sont orthogonaux sur [-1 ; 1] pour le poids Modèle:Math :

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{C}_n^{(\alpha )}(x)C_m^{(\alpha )}(x)(1-x^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}\mathrm{d}x={\delta }_{n,m}\frac{\pi 2^{1-2\alpha }\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha {)}^2}$

Récurrence

Les polynômes de Gegenbauer peuvent être construits par la relation de récurrence :

$C_0^{(\alpha )}(x)=1,C_1^{(\alpha )}(x)=2\alpha x,C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{1}{n}(2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(x))$

Liens avec d'autres suites de polynômes orthogonaux

Les polynômes de Gegenbauer sont solutions de l'équation différentielle :

$(1-x^2)y^{″}-(2\alpha +1)x{y}^{\prime }+n(n+2\alpha )y=0.$

On peut alors remarquer que pour Modèle:Math, l'équation se ramène à celle satisfaite par les polynômes de Legendre, et pour Modèle:Math, on retrouve celle des polynômes de Tchebychev de seconde espèce.

• Polynôme de Gegenbauer Modèle:Math
  Polynôme de Gegenbauer Modèle:Math
• Polynôme de Gegenbauer Modèle:Math
  Polynôme de Gegenbauer Modèle:Math
• Polynôme de Gegenbauer Modèle:Math
  Polynôme de Gegenbauer Modèle:Math

Applications

Les polynômes de Gegenbauer apparaissent comme des prolongements des polynômes de Legendre dans la théorie du potentiel pour les dimensions supérieures à 1.