Problème de Bernstein
En géométrie différentielle, le problème de Bernstein s'énonce de la façon suivante : si le graphe d'une fonction dans RModèle:Exp est une surface minimale dans RModèle:Exp, est-ce que cela implique que la fonction en question est linéaire ? Cette assertion est vraie pour n au plus égal à 8, mais est fausse pour n au moins égal à 9. Ce problème doit son nom à Sergueï Natanovitch Bernstein qui a prouvé le cas n = 3 en 1914.
Énoncé
Soit f une fonction de n − 1 variables réelles. Le graphe de f est alors une surface de RModèle:Exp, et les conditions pour que cette surface soit minimale induisent que f doit vérifier l'équation des surfaces minimales :
Le problème de Bernstein pose la question de savoir si une fonction entière (une fonction définie sur tout RModèle:Exp) qui vérifie l'équation précédente est nécessairement une fonction affine.
Historique
Modèle:Harvsp a prouvé le théorème de Bernstein (énonçant que le graphe d'une fonction réelle à valeurs dans RModèle:2 qui est aussi une surface minimale dans RModèle:3 ne peut être qu'un plan).
Modèle:Harvsp a donné une nouvelle preuve du théorème de Bernstein en le déduisant du fait qu'il n'existe pas de cône d'aire minimale non planaire dans RModèle:3.
Modèle:Harvsp a montré qu'il n'existe pas de cône d'aire minimale non planaire dans RModèle:Exp et donc l'analogue du théorème de Bernstein est vrai dans RModèle:Exp, ce qui implique en particulier qu'il est vrai dans RModèle:4.
Modèle:Harvsp a montré qu'il n'existe pas de cône minimal non planaire dans RModèle:4, étendant le théorème de Bernstein à RModèle:5.
Modèle:Harvsp a montré qu'il n'existe pas de cône minimal non planaire dans RModèle:7, étendant le théorème de Bernstein à RModèle:8. Il a aussi donné des exemples de cônes localement stables dans RModèle:8 et s'est demandé s'ils étaient globalement d'aire minimale.
Modèle:Harvsp ont montré que les cônes de Simons sont effectivement minimaux et ont prouvé que dans RModèle:Exp avec n ≥ 9, il existe des graphes qui sont minimaux sans être des hyperplans. En combinant ces résultats avec ceux de Simons, on en conclut que le théorème de Bernstein n'est vrai que pour des dimensions inférieures ou égales à 8.