Produit de solubilité

Le produit de solubilité est la constante d'équilibre correspondant à la dissolution d'un solide dans un solvant.

Définition

On considère la dissolution d'un solide ionique de formule XModèle:IndYModèle:Ind.

La dissolution est décrite par la réaction suivante :

${{\mathrm{X}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{Y}}_{\mathrm{\beta }}}_{(\text{s})}\rightleftharpoons \mathrm{\alpha }{X}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}^{\mathrm{\beta }\mathrm{+}}+\mathrm{\beta }{Y}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}^{\mathrm{\alpha }\mathrm{-}}$

En utilisant la loi d'action de masse, on obtient la formule :

$K=\frac{a{\left(X_{(\text{aq})}^{\beta +}\right)}^{\alpha }\cdot a{\left(Y_{(\text{aq})}^{\alpha -}\right)}^{\beta }}{a\left({X_{\alpha }{Y}_{\beta }}_{(\text{s})}\right)}$

avec a(X) l'activité de l'espèce X.

Le composé ionique étant un solide pur, son activité est égale à 1. Les activités des ions dans un milieu aqueux correspondent à leurs concentrations exprimées en moles par litre (Modèle:Nb), divisées par une concentration de référence CModèle:Exp = 1 Modèle:Nb.

$a\left({X_{\alpha }{Y}_{\beta }}_{(\text{s})}\right)=1;a{\left(X_{(\text{aq})}^{\beta +}\right)}^{\alpha }={\left(\frac{\left[X^{\beta +}\right]}{C^0}\right)}^{\alpha };a{\left(Y_{(\text{aq})}^{\alpha -}\right)}^{\beta }={\left(\frac{\left[Y^{\alpha -}\right]}{C^0}\right)}^{\beta }$

Le produit de solubilité est :$$K_{\text{s}}={\left(\frac{\left[X^{\beta +}\right]}{C^0}\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\frac{\left[Y^{\alpha -}\right]}{C^0}\right)}^{\beta }$$

On trouve aussi souvent le pKs, obtenu à partir du produit de solubilité par $pKs=-logKs$

Produit de solubilité dans l'eau à Modèle:Tmp

Illustration du produit de solubilité : * si le produit des concentrations [XModèle:Exp]·[YModèle:Exp] des deux ions constitutifs du composé ionique reste inférieur à KModèle:Ind, le composé ionique se dissocie entièrement ; * si le produit [XModèle:Exp]·[YModèle:Exp] est atteint, la solution est saturée et l'addition de composé ionique se traduit par un précipité. Une addition supplémentaire du Modèle:Nobr ne modifie pas la concentration en ions mais augmente la quantité de précipité.

Voici quelques exemples de valeurs numériques du produit de solubilité dans l'eau, par ordre de solubilité décroissante :

Formule	Nom du composé	KModèle:Ind
NaCl	Chlorure de sodium	32,98
TiBrOModèle:Ind	Bromate de titane	Modèle:Nb
PbClModèle:Ind	Chlorure de plomb(II)	Modèle:Nb
Ca(OH)Modèle:Ind	Hydroxyde de calcium	Modèle:Nb
TiBr	Bromure de titane	Modèle:Nb
NiCOModèle:Ind	Carbonate de nickel	Modèle:Nb
CaCModèle:IndOModèle:Ind	Oxalate de calcium	Modèle:Nb
MnS	Sulfure de manganèse(II)	Modèle:Nb
Cu(OH)Modèle:Ind	Hydroxyde de cuivre(II)	Modèle:Nb
HgS	Sulfure de mercure(II)	Modèle:Nb

La valeur du produit de solubilité dépend de la température. De façon générale, elle croît avec la température.

Le produit de solubilité est un rapport de concentrations. C'est donc un nombre sans dimension, qui s'exprime sans unité. Il s'agit d'une constante thermodynamique intervenant dans la loi d'action de masse.

Il n'est cependant pas rare que par abus, le produit de solubilité soit noté comme un produit de concentrations, en omettant les concentrations de référence CModèle:Exp pour simplifier l'écriture. Cet abus de notation demeure malgré tout erroné car il pose un problème d'homogénéité.

Relation entre le produit de solubilité et la solubilité

Attention : les relations et méthodes de calcul exposées dans ce paragraphe ne s'appliquent que dans le cas de la dissolution d'un seul composé ionique : si d'autres éléments sont déjà présents ou sont ajoutés, il faut en tenir compte.

Exemple d'un composé ionique de type XY

Le bromure de cuivre se dissout dans l'eau suivant l'équilibre suivant :

${\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{B}\mathrm{r}}_{\text{(s)}}\rightleftharpoons {\mathrm{C}{\mathrm{u}}^{\mathrm{+}}}_{\text{(aq)}}+{\mathrm{B}{\mathrm{r}}^{\mathrm{-}}}_{\text{(aq)}}$

Soit s la solubilité du bromure de cuivre dans l'eau pure. On considère une solution d'eau pure de volume Modèle:Nb. La dissolution de $x=\frac{s}{C^0}$ moles de CuBr donne x moles de CuModèle:Exp et x moles de BrModèle:Exp. En considérant que le volume de solution ne varie pas au cours de la réaction, on peut décrire la situation de la manière suivante :

	${\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{B}\mathrm{r}}_{\text{(s)}}\rightleftharpoons {\mathrm{C}{\mathrm{u}}^{\mathrm{+}}}_{\text{(aq)}}+{\mathrm{B}{\mathrm{r}}^{\mathrm{-}}}_{\text{(aq)}}$
Espèce chimique	CuBr	CuModèle:Exp	BrModèle:Exp
t = 0	x	0	0
Équilibre	0	x	x

Le produit de solubilité du bromure de cuivre s'écrit :

$K_{\text{s}}=\frac{\left[\mathrm{C}{\mathrm{u}}^{\mathrm{+}}\right]\cdot \left[\mathrm{B}{\mathrm{r}}^{\mathrm{-}}\right]}{(C^0{)}^2}=5,3\times 10^{-9}⟹K_{\text{s}}\cdot (C^0{)}^2=s\cdot s=s^2=5,3\times 10^{-9}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$.

Donc

$s=\sqrt{5,3\times 10^{-9}}=\mathrm{7},\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{5}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

La masse molaire du bromure de cuivre est

${\mathrm{M}}_{\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{B}\mathrm{r}}\mathrm{=}\mathrm{6}\mathrm{3},\mathrm{5}\mathrm{5}\mathrm{+}\mathrm{7}\mathrm{9},\mathrm{9}\mathrm{0}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{4}\mathrm{3},\mathrm{4}\mathrm{5}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

La solubilité massique du bromure de cuivre est

$s_{\mathrm{m}}=s\times {\mathrm{M}}_{\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{B}\mathrm{r}}=7,2\times 10^{-5}\times 143,45=\mathrm{1},\mathrm{0}\mathrm{3}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{g}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

Exemple d'un composé ionique de type XModèle:IndY

Le carbonate d'argent se dissout suivant l'équilibre :

${\mathrm{A}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{3}}}_{\text{(s)}}\mathrm{\rightleftharpoons }\mathrm{2}{\mathrm{A}{\mathrm{g}}^{\mathrm{+}}}_{\text{(aq)}}\mathrm{+}{{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}\mathrm{-}}}_{\text{(aq)}}$

On considère une solution d'eau pure de volume Modèle:Nb et note s la solubilité du carbonate d'argent dans l'eau pure. On pose $x=\frac{s}{C^0}$. La dissolution de x moles de AgModèle:IndCOModèle:Ind donne 2x moles de AgModèle:Exp et x moles de COModèle:IndModèle:Exp. On peut décrire la situation de la manière suivante :

	${\mathrm{A}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{3}}}_{\text{(s)}}\mathrm{\rightleftharpoons }\mathrm{2}{\mathrm{A}{\mathrm{g}}^{\mathrm{+}}}_{\text{(aq)}}\mathrm{+}{{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}\mathrm{-}}}_{\text{(aq)}}$
Espèce chimique	AgModèle:IndCOModèle:Ind	AgModèle:Exp	COModèle:IndModèle:Exp
t = 0	x	0	0
Équilibre	0	2x	x

$K_{\text{s}}=\left(\frac{{\left[A{g}^{+}\right]}^{\mathrm{2}}\mathrm{\cdot }\left[C{O}_3^{2-}\right]}{(C^0{)}^3}\right)=8,1\times 10^{-18}$

En supposant que le volume de solution reste Modèle:Nb durant toute la réaction, on peut écrire :

$K_{\text{s}}=(2x{)}^2\cdot (x)=4x^3=8,1\times 10^{-18}⟹x=\sqrt[3]{\frac{8,1\times 10^{-18}}{4}}$

Donc, il vient :

$s=\mathrm{1},\mathrm{2}\mathrm{6}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{6}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

La masse molaire du carbonate d'argent est

${\mathrm{M}}_{\mathrm{A}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{3}}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{7}\mathrm{5},\mathrm{7}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

La solubilité massique du carbonate d'argent est

$s_{\mathrm{m}}=C\cdot {\mathrm{M}}_{\mathrm{A}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{3}}}=1,26\times 10^{-6}\times 275,7=\mathrm{3},\mathrm{4}\mathrm{9}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}}\mathrm{g}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

Généralisation

Soit la dissolution d'un composé ionique de formule générale XModèle:IndYModèle:Ind.

${{\mathrm{X}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{Y}}_{\mathrm{\beta }}}_{(\text{s})}\rightleftharpoons \mathrm{\alpha }{X}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}^{\mathrm{\beta }\mathrm{+}}+\mathrm{\beta }{Y}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}^{\mathrm{\alpha }\mathrm{-}}$.

Soit s la solubilité de XModèle:IndYModèle:Ind. On pose $x=\frac{s}{C^0}$. La dissolution dans Modèle:Nb d'eau pure de x moles de XModèle:IndYModèle:Ind donne Modèle:Nobr moles de XModèle:Ind et Modèle:Nobr moles de YModèle:Ind. On peut décrire la situation de la manière suivante :

	${{\mathrm{X}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{Y}}_{\mathrm{\beta }}}_{(\text{s})}\rightleftharpoons \mathrm{\alpha }{X}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}^{\mathrm{\beta }\mathrm{+}}+\mathrm{\beta }{Y}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}^{\mathrm{\alpha }\mathrm{-}}$
Espèce chimique	${{\mathrm{X}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{Y}}_{\mathrm{\beta }}}_{(\text{s})}$	${{\mathrm{X}}^{\beta +}}_{(\text{aq})}$	${{\mathrm{Y}}^{\alpha -}}_{(\text{aq})}$
t = 0	x	0	0
Équilibre	0	αx	βx

$K_{\text{s}}={\left(\frac{\left[X^{\beta +}\right]}{C^0}\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\frac{\left[Y^{\alpha -}\right]}{C^0}\right)}^{\beta }$

Toujours en supposant le volume de la solution constant durant toute la durée de la réaction,

$K_{\text{s}}=(\alpha x{)}^{\alpha }\cdot (\beta x{)}^{\beta }$

La relation générale entre le KModèle:Ind et la solubilité est la suivante :

$K_{\text{s}}={\alpha }^{\alpha }\cdot {\beta }^{\beta }\cdot {\left(\frac{s}{C^0}\right)}^{\alpha +\beta }$.

Effet d'ion commun

Quel est le comportement d'un composé que l'on dissout dans une solution qui contient préalablement un ion de ce composé ?

Soit par exemple la dissolution du chlorure d'argent dans une solution d'acide chlorhydrique de concentration molaire Modèle:Nb et de volume Modèle:Nb. L'acide chlorhydrique étant un acide fort, il se dissocie complètement en cations HModèle:Exp et anions ClModèle:Exp. Le chlorure d'argent se dissocie suivant la réaction :

${\mathrm{A}\mathrm{g}\mathrm{C}\mathrm{l}}_{\mathrm{(}\text{s}\mathrm{)}}\mathrm{\rightleftharpoons }{\mathrm{A}{\mathrm{g}}^{\mathrm{+}}}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{\mathrm{-}}}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}$.

De manière qualitative en utilisant le principe de Le Chatelier, on montre que l'augmentation d'ion chlorure (donc à droite de l'équilibre) provoque un déplacement de l'équilibre vers la gauche. La présence d'ions chlorure diminue la solubilité du chlorure d'argent.

Exemple :

Notons s la solubilité du chlorure d'argent dans l'eau pure et posons $x=\frac{s}{C^0}$.

On considère x moles de chlorure d'argent introduites dans une solution d'Modèle:Nb d'eau pure.

	${\mathrm{A}\mathrm{g}\mathrm{C}\mathrm{l}}_{\mathrm{(}\text{s}\mathrm{)}}\mathrm{\rightleftharpoons }{\mathrm{A}{\mathrm{g}}^{\mathrm{+}}}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{\mathrm{-}}}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}$
Espèce chimique	AgCl	AgModèle:Exp	ClModèle:Exp
t = 0	x	0	0
Équilibre	0	x	x

$K_{\text{s}}=\left(\frac{\left[A{g}^{+}\right]}{C^0}\right)\mathrm{\cdot }\left(\frac{\left[C{l}^{-}\right]}{C^0}\right)$

Le volume de solution est considéré invariant au cours de la réaction. Alors,

$K_{\text{s}}=x\cdot x=x^2=1,8\times 10^{-10}$.

Il vient :

$S=\mathrm{1},\mathrm{3}\mathrm{5}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{5}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

Si l'on dissout du chlorure d'argent dans la solution d'acide chlorhydrique à Modèle:Nb, la situation est la suivante :

	${\mathrm{A}\mathrm{g}\mathrm{C}\mathrm{l}}_{\mathrm{(}\text{s}\mathrm{)}}\mathrm{\rightleftharpoons }{\mathrm{A}{\mathrm{g}}^{\mathrm{+}}}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{\mathrm{-}}}_{\mathrm{(}\text{aq}\mathrm{)}}$
Espèce chimique	AgCl	AgModèle:Exp	ClModèle:Exp
t = 0	x’	0	0,1
Équilibre	0	x’	x’+0,1

$K_{\text{s}}=\left(\frac{\left[A{g}^{+}\right]}{C^0}\right)\mathrm{\cdot }\left(\frac{\left[C{l}^{-}\right]}{C^0}\right)$

Toujours en supposant le volume de solution constant durant toute la réaction, on peut considérer que :

$K_{\text{s}}=x^{\prime }\cdot (x^{\prime }+0,1)=1,8\times 10^{-10}$

On peut faire l'hypothèse que s' est très faible devant Modèle:Nb, ainsi :

$K_{\text{s}}=0,1x^{\prime }=1,8\times 10^{-10}$

D'où :

$s^{\prime }=\mathrm{1},\mathrm{8}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{9}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

$s^{\prime }<s$

La solubilité du chlorure d'argent dans une solution d'acide chlorhydrique est inférieure à sa solubilité dans l'eau pure.

Vérification de l'hypothèse de calcul : $\mathrm{1},\mathrm{8}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{9}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\ll }\mathrm{0},\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$. Il était donc possible de faire l'approximation.

Attention : dans le cas contraire, si l'approximation n'est pas justifiée, c'est-à-dire si les deux termes sont plus ou moins du même ordre de grandeur, il faut résoudre l'équation du second degré afin de déterminer la solubilité.