Propriété (T) de Kazhdan

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes topologiques, un groupe localement compact est réputé avoir la propriété (T) ou propriété de Kazhdan si chacune de ses représentations unitaires ayant « presque » des vecteurs invariants possède un vecteur invariant non nul. Cette propriété, formalisée par David Kazhdan en 1967, peut être vue comme opposée à la moyennabilité.

Définition

Soient Modèle:Formule un groupe topologique, Modèle:Formule un espace de Hilbert, $𝒰(\mathscr{H})$ le groupe de tous les opérateurs unitaires de Modèle:Formule dans lui-même, et Modèle:Formule un morphisme de groupes. Si toutes les applications de Modèle:Formule dans Modèle:Formule, définies par $g⟼\pi (g)\xi$ pour $\xi \in$ Modèle:Formule fixé, sont continues, alors $\pi$ est appelé une représentation unitaire de Modèle:Formule.

Pour Modèle:Formule et Modèle:Formule une partie compacte de Modèle:Formule, un vecteur unitaire Modèle:Formule est dit Modèle:Formule-invariant par Modèle:Formule si pour tout Modèle:Formule, Modèle:Formule. On dit que Modèle:Formule possède presque des vecteurs invariants s’il existe un vecteur unitaire Modèle:Formule-invariant par Modèle:Formule pour toute paire Modèle:Formule, Modèle:Formule compact.

Si Modèle:Formule est localement compact, il est dit avoir la propriété (T) si toute représentation unitaire de Modèle:Formule possédant presque des vecteurs invariants laisse stable un vecteur non nul.

Propriétés

La propriété (T) est liée à la moyennabilité par le théorème suivant : Modèle:ThéorèmeDans ce sens, la propriété (T) peut être vue comme opposé à la moyennabilité. Par exemple, comme tous les groupes abéliens sont moyennables, les groupes ${ℝ}^n$ et ${\mathbb{Z}}^n$, qui ne sont pas compacts, ne peuvent pas avoir la propriété (T).

Bibliographie

• Modèle:Périodique