Représentation fidèle
En mathématiques, en particulier en théorie des représentations, une représentation fidèle ρ d'un groupe Modèle:Mvar sur un espace vectoriel Modèle:Mvar est une représentation linéaire dans laquelle différents éléments Modèle:Mvar de Modèle:Mvar sont représentés par des applications linéaires distinctes Modèle:Formule. En langage plus abstrait, cela signifie que le morphisme de groupe est injectif (et éventuellement bijectif).
Mise en garde
Alors que les représentations de Modèle:Mvar sur un corps Modèle:Mvar peuvent de facto être identifiés aux modules sur l'algèbre de groupe Modèle:Formule du groupe Modèle:Mvar, une représentation fidèle de Modèle:Mvar n'est pas nécessairement un module fidèle pour l'algèbre de groupe. Si chaque Modèle:Formule-module fidèle est une représentation fidèle de Modèle:Mvar, la réciproque n'est pas vraie. Considérons par exemple la représentation naturelle du groupe symétrique Modèle:Formule de dimension Modèle:Mvar par des matrices de permutation, qui est clairement fidèle. En revanche, l'algèbre de groupe est de dimension Modèle:Formule, qui est l'ordre du groupe, tandis que l'espace des matrices Modèle:Formule est de dimension Modèle:Formule. Dès que Modèle:Mvar est supérieur ou égal à 4, la comparaison des dimensions (Modèle:Formule) montre que l'application Modèle:Formule n'est pas injective ; autrement dit, le module sur l'algèbre de groupe n'est pas fidèle.
Propriétés
Une représentation Modèle:Mvar d'un groupe fini Modèle:Mvar sur un corps algébriquement clos Modèle:Mvar de caractéristique zéro est fidèle (en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de Modèle:Mvar apparaît comme une sous-représentation de la Modèle:Mvar-ième puissance symétrique Modèle:Formule pour Modèle:Mvar assez grand. Par ailleurs, Modèle:Mvar est fidèle (toujours en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de Modèle:Mvar apparaît comme une sous-représentation de la Modèle:Mvar-ième puissance tensorielle
pour Modèle:Mvar assez grand[1].