Réponse impulsionnelle

Réponses impulsionnelles d'un système audio simple (de haut en bas) : impulsion originale à l'entrée, réponse après amplification des hautes fréquences et réponse après amplification des basses fréquences.

En traitement du signal et en automatique, la réponse impulsionnelle d'un processus est le signal de sortie qui est obtenu lorsque l'entrée reçoit une impulsion, c'est-à-dire une variation soudaine et brève du signal. En effet, lorsqu'une impulsion est fournie à l'entrée d'un système linéaire, la sortie n'est en général plus une impulsion, mais un signal ayant une certaine durée (parfois infinie comme dans le cas d’un filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII)). La réponse impulsionnelle permet la représentation d'un système en fonction de son entrée et de sa sortie uniquement, par opposition à une représentation d'état.

Définition mathématique de l’impulsion

Pour un système à temps continu, le modèle mathématique d’une impulsion est une distribution de Dirac.

Pour un système à temps discret (et non le système lui-même), une impulsion est définie par la suite :

$\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{s}\mathrm{i}n=0\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\end{array}$

Dans les deux cas, la réponse impulsionnelle est la sortie du système en réponse à cette impulsion.

Réponse impulsionnelle d'un système linéaire invariant (SLI)

Caractérisation d'un SLI par sa réponse impulsionnelle

Représentation entrée-sortie d'un système d'entrée Modèle:Mvar et de sortie Modèle:Math, Modèle:Mvar étant la réponse impulsionnelle du système.

Exemple de sortie Modèle:Mvar d'un signal en fonction de son entrée Modèle:Mvar et de sa réponse impulsionnelle Modèle:Mvar (ici, des signaux binaires en temps discret).

Soit Modèle:Mvar la représentation mathématique d’un système à temps discret ; à une entrée Modèle:Mvar correspond une sortie Modèle:Mvar satisfaisant la relation :

$\{y(n)\}=T[\{u(n)\}].$

Modèle:Mvar est ainsi une application de l’espace des suites dans lui-même.

Supposons de plus que Modèle:Mvar soit linéaire et invariant par translation temporelle. Dans ce cas, la réponse impulsionnelle

$\{h(n)\}=T[\{\delta (n)\}]$

caractérise entièrement le système, la sortie Modèle:Mvar pouvant être calculée à partir de n’importe quelle entrée Modèle:Mvar en appliquant la relation suivante dans le cas discret :

$y(n)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}h(n-k)u(k)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}h(k)u(n-k)$

Dans le cas continu, cette relation s’écrit, similairement :

$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t-\tau )u(\tau )d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )u(t-\tau )d\tau .$

Ces opérations correspondent à un produit de convolution entre l'entrée Modèle:Mvar et la réponse impulsionnelle Modèle:Mvar, que l'on note Modèle:Math. On a donc la relation Modèle:Math.

Preuve (cas discret)

L'impulsion unité Modèle:Mvar possède la propriété suivante : $u(\cdot )\delta (\cdot )=u(0)\delta (\cdot )$ Cette propriété permet d'extraire la valeur du signal Modèle:Mvar en Modèle:Math en le multipliant simplement par $\delta (\cdot )$. De même, pour récupérer la valeur du signal en un instant Modèle:Mvar, il suffit de le multiplier par l'impulsion décalée $\delta (\cdot -k)$.

On remarque ainsi qu'une entrée Modèle:Mvar est une suite d'impulsions discrètes décalées dans le temps. Puisque le système est invariant, le décalage des impulsions produit simplement une sortie elle aussi décalée (voir système invariant). La linéarité du système permet ensuite d’exprimer la sortie Modèle:Mvar par la somme des réponses spécifiques à chacune de ses impulsions.

Considérons alors la contribution à l'instant Modèle:Mvar de l'impulsion décalée de Modèle:Math : pour une entrée $u(k_0)\delta (\cdot -k_0)$, la sortie à l'instant Modèle:Mvar vaut Modèle:Math.

La réponse totale s'obtient ainsi en sommant les contributions de toutes les impulsions décalées, soit :

$y(n)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}h(n-k)u(k),$

un produit de convolution qui, par commutativité, conduit à :

$y(n)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}h(k)u(n-k).$

Un raisonnement similaire permet de généraliser ce résultat au cas continu. Les sommes seront remplacées par des intégrales.

Relation avec la fonction de transfert d'un SLI

La transformée de Laplace (respectivement la transformée en Z) de la réponse impulsionnelle Modèle:Mvar d'un système linéaire invariant (SLI) à temps continu (respectivement discret) est égale à la fonction de transfert Modèle:Math (respectivement Modèle:Math) de ce système.

Pour le démontrer, il suffit d'appliquer les transformées à la relation $y(n)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}h(k)u(n-k)$ en utilisant le fait qu'un produit de convolution devient un produit dans le domaine fréquentiel.

Applications physiques

Une impulsion correspond à un pic d'intensité d'un phénomène.

Dans les systèmes réels, il n'est pas possible de produire une impulsion parfaite qui servirait d'entrée pour les tests ; c'est pourquoi une brève impulsion est parfois utilisée comme une approximation d'une impulsion de Dirac. À condition que l'impulsion soit suffisamment courte par rapport à la réponse impulsionnelle du système étudié, le résultat sera proche de la réponse impulsionnelle réelle, théorique. Dans de nombreux systèmes, cependant, le pilotage avec une impulsion forte très courte peut conduire le système dans un régime non linéaire, donc au lieu de cela le système est piloté avec une séquence pseudo-aléatoire, et la réponse impulsionnelle est calculée à partir des signaux d'entrée et de sortie.

En mécanique

En mécanique, un pic d'accélération correspond à un choc. Un pic d'à-coup (dérivée de l'accélération) correspond à une secousse, une saccade. Dans le modèle du solide indéformable, ces pics se caractérisent par une discontinuité (fonction de Heaviside) de la grandeur dont ils dérivent : discontinuité de la vitesse pour le choc, discontinuité de l'accélération pour la saccade.

Haut-parleurs

Le développement des tests de réponse impulsionnelle pour les haut-parleurs existe depuis les années 1970. Les haut-parleurs souffrent d'une imprécision de phase, un défaut différent des autres propriétés mesurées telles que la réponse en fréquence. Ce défaut de phase est causé par des réponses en fréquence (légèrement) retardées qui sont principalement le résultat de croisements passifs (en particulier les filtres d'ordre supérieur) mais qui sont également causées par la résonance, le stockage d'énergie dans la membrane, le volume interne ou les panneaux de l'enceinte qui vibrent. La mesure de la réponse impulsionnelle, qui est un tracé direct de ce "frottement dans le temps", a fourni un outil permettant de réduire les résonances par l'utilisation de matériaux améliorés pour les membranes et les enceintes, ainsi que des modifications du croisement des réponses de haut-parleurs. La nécessité de limiter l'amplitude d'entrée pour maintenir la linéarité du système a conduit à l'utilisation de signaux d'excitation (test) tels que des séquences de longueur maximale pseudo-aléatoires, et à l'utilisation du traitement informatique pour dériver la réponse impulsionnelle.

Traitement électronique

L'analyse de la réponse impulsionnelle est une facette majeure du radar, des télécommunications (réponse impulsionnelle du canal de transmission), de l'échographie, et de nombreux domaines du traitement numérique du signal. Un exemple intéressant est celui des connexions Internet à large bande. Les services DSL/large bande utilisent des techniques d'égalisation adaptative pour aider à compenser la distorsion du signal et les interférences introduites par les lignes téléphoniques en cuivre utilisées pour fournir le service.

Systèmes de contrôle

En théorie du contrôle, la réponse impulsionnelle est la réponse d'un système à une entrée de type delta de Dirac. Cela s'avère utile dans l'analyse des systèmes dynamiques ; la transformée de Laplace de la fonction delta est égale à 1, la réponse impulsionnelle est donc équivalente à la transformation inverse de Laplace de la fonction de transfert du système.

Applications acoustiques et audio

Dans les applications acoustiques et audio, les réponses impulsionnelles permettent de capturer les caractéristiques acoustiques d'un lieu, comme une salle de concert, par exemple. Il existe différents packs contenant les réponses impulsionnelles de lieux spécifiques, allant de petites pièces à de grandes salles de concert. Ces réponses impulsionnelles peuvent ensuite être utilisées dans des applications de réverbération à convolution pour permettre aux caractéristiques acoustiques d'un lieu particulier d'être appliquées à l'audio cible.

Économie

En économie, et plus particulièrement dans la macro-économie contemporaine, les fonctions de réponse impulsionnelle sont utilisées pour décrire comment l'économie réagit dans le temps à des impulsions exogènes, que les économistes appellent généralement Modèle:Lien, et sont souvent modélisées dans le contexte d'un vecteur autorégressif. Les impulsions qui sont souvent traitées comme exogènes d'un point de vue macroéconomique comprennent des changements dans les dépenses publiques, les taux d'imposition et d'autres paramètres de politique fiscale ; des changements dans la base monétaire ou d'autres paramètres de politique monétaire ; des changements dans la productivité ou d'autres paramètres de technologie ; et des changements dans les préférences, tels que le degré d'impatience. Les fonctions de réponse impulsionnelle décrivent la réaction des variables macroéconomiques Modèle:Lien telles que la production, la consommation, l'investissement, et l'emploi au moment du choc et sur des points ultérieurs dans le tempsModèle:,. Récemment, des fonctions de réponse impulsionnelle asymétriques ont été suggérées dans la littérature qui séparent l'impact d'un choc positif d'un choc négatif.

Temps de réponse d'un SLI

Le temps de réponse d'un SLI est lié à la durée de sa réponse impulsionnelle Modèle:Mvar. Il s'agit là d'une conséquence directe de la représentation convolutionnelle.

En effet, considérons un signal d'entrée Modèle:Mvar de durée Modèle:Mvar. La réponse du système à une telle entrée est donnée par le produit de convolution entre cette entrée et la réponse impulsionnelle Modèle:Mvar. La réponse impulsionnelle a elle aussi une durée, notée Modèle:Mvar.

Le temps de réponse sera donc donné par Modèle:Mvar.

Ce temps de réponse est un indicateur sur la rapidité du système à réagir à une entrée donnée. Si le système a une constante Modèle:Mvar très grande, il ne saura pas réagir à une entrée variant rapidement.

Les systèmes à grandes constantes de temps sont idéaux pour modéliser les filtres passe-bas. Ces systèmes sont en effet capables de réagir aux signaux variant lentement (basses fréquences), mais ne seront que très peu influencés par les signaux rapides (hautes fréquences).

Il est à noter que la constante de temps Modèle:Mvar de la réponse impulsionnelle n'est pas toujours bien définie. Dans grand nombre de cas, la réponse impulsionnelle a une allure d’exponentielle décroissante. Sa durée est donc infinie. Bien entendu, cette réponse finit par devenir très petite, ce qui signifie que la réponse du système après un temps fini sera négligeable.

Il existe des conventions pour déterminer le temps Modèle:Mvar à partir duquel la réponse est négligeable.

Une de ces conventions est :

$T_h=\frac{1}{\max h}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t)\mathrm{d}t$

où Modèle:Math désigne le maximum atteint par la réponse impulsionnelle.

Voir aussi

• Transformée de Laplace
• Transformée de Fourier
• Transformée en Z
• Système temps invariant
• Système linéaire
• Réponse indicielle