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...tous les objets sont des ensembles, en particulier ''A'' est un ensemble d'ensembles, sinon il faut le préciser). ...réunion]] de deux ensembles (qui contient exactement les éléments des deux ensembles) est un ensemble. ...

...'axiomes]] du [[Calcul des prédicats|premier ordre]] pour la [[théorie des ensembles]], développé par [[Saul Kripke]] et [[Richard Platek]]. Il comporte trois [ * [[Axiome d'extensionnalité]] : Deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux. ...

...melo (Z)|théories des ensembles de Zermelo]] et de [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel]]. ...tel ensemble est nommé ''ensemble des parties'' de ''E'', d'où le nom de l'axiome. ...

...classes de propositions suivant la théorie en jeu) peut se déduire de l'[[axiome du choix]]. Il fut découvert en 1975 par Diaconescu<ref>{{en}} R. Diaconesc ...]] quelconque. En utilisant l'[[axiome de compréhension]], on définit deux ensembles ...

...des ensembles]], plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de [[ZFC|Zermelo-Fraenkel]]. Essentiellement, l'axiome affirme que : ...

...mbles ''petits'' est ''petite'', où un ensemble est dit ''petit'' s'il est de cardinalité strictement inférieure à <math>\kappa</math>. Une autre définit ...st nécessairement un [[cardinal limite]]. Une question naturelle se pose : la réciproque est-elle vraie ? Un contre-exemple à cette réciproque, c'est-à-d ...

...=[[Cambridge University Press]]}}.</ref>, il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne l'utilisent jamais ailleurs, même s'ils le ...t les ouvrages. Dans la suite, on choisit de prendre ZF et ZFC sans axiome de fondation. ...

...ématiques)|éléments]] sont aussi des [[Inclusion (mathématiques)|parties]] de l'ensemble. :tout élément ''y'' d’un élément ''x'' de ''X'' est lui-même élément de ''X'' ...

...les. Il permet par exemple à un ensemble d'appartenir à lui-même ou à deux ensembles distincts d'appartenir l'un à l'autre. ...sell en 1983, il a été popularisé par l'ouvrage ''Non-Well-Founded Sets'' de [[Peter Aczel]], publié en 1988. ...

|légende=Une suite infinie d'ensembles qui se contiennent les uns les autres] ...bles non bien fondés, l'axiome de fondation de [[ZFC]] est remplacé par un axiome impliquant sa négation. ...

...it autrement, le cardinal associé à l'[[ordinal de Hartogs]] de l'ensemble des [[entier naturel|entiers naturels]]). ...t ℵ₁. En présence de l'[[axiome du choix]], [[théorème de Zermelo|tous les ensembles pouvant être bien ordonnés]], ℵ₁ est le plus petit cardinal infini non déno ...

{{Ébauche|théorie des ensembles}} ...e. La notation de ces nombres utilise la [[Beth (lettre)|deuxième lettre]] de [[Alphabet hébraïque|l'alphabet hébreu]], <math>\beth</math> ou ב. ...

...l'[[axiome du choix]] (AC), suffisante pour développer une majeure partie de [[Analyse réelle|l'analyse réelle]]. Il a été introduit par [[Paul Bernays| ...infinie, mais pas pour obtenir, pour chaque entier ''n'', une suite finie de ''n'' termes en relation (un terme avec le suivant). ...

{{Voir homonymes|Théorème de König}} Le '''théorème de Kőnig''' en [[théorie des ensembles]] est dû au mathématicien [[Hongrie|hongrois]] [[Julius König|Julius Kőnig] ...

...h> sur un ensemble ''X'' tel que pour tous ''x'' et ''y'', seulement l'une des relations suivantes tient: <math>x<y, x=y</math>, ou <math>x>y</math>. En supposant que la commande est [[Relation réflexive|irréflexive]] et [[Relation transitive|tr ...

...2uOXnRQcC}}.</ref> est une [[opération ensembliste]] de base. En [[Algèbre de Boole (structure)|algèbre booléenne]], l'union est associée à l'[[opérateur ...enn et de Carroll#Diagrammes de Venn|diagramme de Venn]] par l'ensemble de la zone colorée en violet.]] ...

...ble infini|ensembles infinis]]. Ces notions participent à la [[théorie des ensembles]]. ...transfinis'' dans le second cas. Leur existence est assurée par l'[[axiome de l'infini]]. ...

...nsemble pouvait être bien ordonné]] en utilisant ce qui allait devenir l'[[axiome du choix]].]] ...un axiome de la [[Théorie des ensembles|théorie]] [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|ZFC]] qui équivaut à ce que tout ensemble puisse être [[Bo ...

...naux]] sont incompatibles avec l'[[axiome du choix]]. Leur ajout conduit à des contradictions. Selon certaines conséquences du théorème de Kunen, il s'ensuit que : ...

...ce d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le [[paradoxe de Russell]]. ...aussi, un topos peut se voir comme représentant une certaine [[théorie des ensembles]]. ...