Tenseur de densité du flux d'impulsion

Modèle:Ébauche Le tenseur de densité du flux d'impulsion est donné par :

${\mathrm{\Pi }}_{ik}=p{\delta }_{ik}+\rho v_i{v}_k$

Considérons un fluide ayant la vitesse $\overrightarrow{v}$: l'impulsion de l'unité de volume du fluide est égale à $\rho \overrightarrow{v}$ avec $\rho$ la masse volumique du fluide. Le taux de sa variation est donc:

$\frac{\partial \rho \overrightarrow{v}}{\partial t}$

En notations tensorielles, nous avons alors: $\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=\rho \frac{\partial v_i}{\partial t}+v_i\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Utilisons l'équation de continuité: $\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k}$ ; et l'équation d'Euler: $\frac{\partial v_i}{\partial t}=-v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x_i}$

Grâce à ces deux équations, nous déduisons:

$\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=-\rho v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{\partial p}{\partial x_i}-v_i\frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}-\frac{\partial \rho v_i{v}_k}{\partial x_k}$

Nous pouvons très bien écrire que: $\frac{\partial p}{\partial x_i}={\delta }_{ik}\frac{\partial p}{\partial x_k}$

d'où, $\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=-\frac{\partial ({\delta }_{ik}p+\rho v_i{v}_k)}{\partial x_k}=-\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{ik}}{\partial x_k}$

Afin de mettre en évidence la signification du tenseur ${\mathrm{\Pi }}_{ik}$, intégrons l'équation précédente dans un certain volume:

$\frac{\partial }{\partial t}\int \rho v_{i}dV=-\int \frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{ik}}{\partial x_k}dV$

D'après le théorème d'Ostrogradsky-Gauss, nous pouvons écrire:

$\frac{\partial }{\partial t}\int \rho v_{i}dV=-\oint {\mathrm{\Pi }}_{ik}d{S}_k$

Dans le premier membre nous avons la variation par unité de temps de la i-ème composante de l'impulsion dans le volume considéré. Ce qui signifie que le second membre représente la quantité de cette impulsion s'écoulant par unité de temps à travers la surface délimitant le volume considéré.

En écrivant $d{S}_k=n_{k}dS$, nous pouvons dire que: ${\mathrm{\Pi }}_{ik}{n}_k=p{n}_i+\rho v_i{v}_k$ ce qui correspond à l'expression vectorielle $p\overrightarrow{n}+\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})$. Nous concluons que ${\mathrm{\Pi }}_{ik}$ est la i-ème composante de la quantité d'impulsion traversant par unité de temps l'unité de surface normale à l'axe $x_k$.