Théorie de Nevanlinna

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, la théorie de Nevanlinna décrit la distribution asymptotique des valeurs d'une fonction méromorphe, plus précisément, pour une fonction méromorphe f d’une variable complexe, la distribution des solutions de l’équation $f(z)=a$ quand le nombre complexe $a$ varie.

Si $f$ est une fonction entière, cette distribution est comparable pour tous les $a$, sauf peut-être un, à la croissance de la fonction, qui est décrite par $\log M(r)$, où $M(r)=ma{x}_{|z|\le r}\mid f(z)\mid$. La notion de croissance utilisée ne convenant plus pour des fonctions méromorphes, qui peuvent avoir des pôles, le mathématicien finlandais Rolf Nevanlinna a défini en 1925 un substitut adapté, maintenant appelé la caractéristique de NevanlinnaModèle:Sfn et prouvé les premiers théorèmes correspondants. La théorie de Nevanlinna a ensuite été étendue à de nombreuses autres situations, comme les courbes holomorphes, les applications quasi-régulières ou les surfaces minimales ; plus récemment ont été mises en évidence des analogies fructueuses de cette théorie avec des questions de théorie des nombres.

La caractéristique de Nevanlinna

Pour $r>0$ et $a\in \overline{ℂ}$, on indique par $n(r,a,f)$ le nombre de solutions de $f(z)=a$, dans le disque fermé de centre 0 et de rayon $r$, comptées avec leur multiplicité. Si la fonction $f$ est entière, cette fonction de comptage croit à peu près comme $\log M(r)$, où $M(r)=ma{x}_{|z|\le r}\mid f(z)\mid$, sauf peut-être pour une valeur de $a$. Cette valeur exceptionnelle est liée au théorème de Picard, établissant qu’une fonction entière non constante doit prendre toutes les valeurs, sauf peut-être une : en effet, si $f(z)=a$ n'a pas de solutions, $n(r,a,f)=0$ pour tout r et ne croit donc pasModèle:Sfn.

Dans le cas d’une fonction méromorphe, on remplace la fonction de comptage par la fonction $N(r,a,f)$ :

$N(r,a,f)=\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{n(t,a,f)-n(0,a,f)}{t}\text{d}t+n(0,a,f)\log r.$

Cette fonction $N(r,a,f)$ a l'avantage d'être une fonction continue ; elle est croissante (et convexe en $\log r$)Modèle:Sfn. Elle quantifie le nombre moyen de points où la fonction $f$ prend la valeur $a$ dans le disque de centre 0 et de rayon $r$Modèle:Sfn.

On pose aussi $N(r,f)=N(r,\mathrm{\infty },f)$ (relative aux pôles de la fonction dans le disque de centre 0 et de rayon $r$)Modèle:Sfn.

On introduit aussi une fonctionModèle:Sfn dite osculatrice :

$m(r,f)=m(r,\mathrm{\infty },f)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\log }^{+}|f(r{e}^{i\theta })|d\theta ,$ où ${\log }^{+}x=\max \{0,\log x\}$.

La caractéristique de Nevanlinna $T(r,f)$ est ensuite définie parModèle:Sfn :

$T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).$

Cette caractéristique tend vers l’infini quand $r\to \mathrm{\infty }$ (si la fonction $f$ n’est pas constante).

On montre que si $f$ est une fonction entière, et $1<r<R$, alors $T(r,f)\le {\log }^{+}M(r,f)\le \frac{R+r}{R-r}T(R,f).$

Ceci justifie d’utiliser $T(r,f)$ à la place de $\log M(r,f)$ comme mesure de croissance de la fonction $f$ quand celle-ci n’est plus nécessairement entière, mais méromorphe.

L’ordre $\rho (f)$ d’une fonction méromorphe $f$ est défini par

$\rho (f)=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log T(r,f)}{\log r}.$

Les théorèmes fondamentaux

Pour tout nombre complexe $a$, on définit $m(r,a,f)=m(r,\frac{1}{f-a})$. Elle rend compte de la proximité à $a$ des valeurs de la fonction $f$ sur le cercle de centre 0 et rayon $r$Modèle:Sfn.

Le premier théorème fondamental affirme que pour tout $a\in \overline{ℂ}$

$T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),$

où le terme borné $O(1)$ peut dépendre de $f$ et de $a$. Pour une fonction $f$ méromorphe non constante, $T(f,r)$ tend vers l'infini avec $r$, donc le premier théorème fondamental dit que la somme $N(r,a,f)+m(r,a,f)$ tend vers l'infini à un taux indépendant de $a$.

Ce premier théorème est une conséquence de la formule de Jensen.

Le deuxième théorème fondamental Modèle:Citation.

Pour ce deuxième théorèmeModèle:Sfn, on introduit :

$N_1(r,f)=2N(r,f)-N(r,f^{\prime })+N(r,\frac{1}{f^{\prime }}).$

Cette quantité, qui compte les valeurs atteintes avec une multiplicité strictement plus grande que 1, est positive ou nulle.

Pour $a_1,a_2,\dots ,a_q\in \overline{ℂ}$, distincts, le deuxième théorème fondamental établit que :

$\sum _{j=1}^{q}m(r,a_j,f)\le 2T(r,f)-N_1(r,f)+S(r,f),$

où $S(r,f)$ est un terme d'erreur, petit par rapport à la caractéristique $T(r,f)$. Plus précisément, il existe un ensemble $E\subset [1,\mathrm{\infty })$ de longueur finie, tel que

$S(r,f)=O(\log T(r,f))+O(\log r)$ quand $r$ tend vers l'infini, $r\notin E$. De meilleures estimations du terme d'erreur existent, mais il a été démontré qu'il n'est pas possible d'éliminer complètement l'ensemble exceptionnel $E$.

Une autre forme du deuxième théorème est :

$(q-2)T(r,f)\le \sum _{j=1}^q\bar{N}(r,a_j,f)+S(r,f),$

où $\bar{N}$ est identique à $N$, mais en ne comptant pas la multiplicité.

Le deuxième théorème donne une borne supérieure de la caractéristique en fonction de $N(r,a)$. En particulier, en prenant $q=3$ et $a_3=\mathrm{\infty }$, le théorème montre qu'une fonction entière transcendante prend chaque valeur une infinité de fois, avec au plus deux exceptions, ce qui donne une des variantes du théorème de Picard.

Déficience

La déficience d'une fonction méromorphe en $a$ est définie par la formule :

$\delta (a,f)=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{m(r,a,f)}{T(r,f)}=1-\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{N(r,a,f)}{T(r,f)}.$

Par le premier théorème fondamental, $0\le \delta (a,f)\le 1$, si $T(r,f)$ tend vers l'infini (c'est vrai en particulier pour toutes les fonctions non constantes méromorphes sur le plan complexe). Les points $a$ pour lesquels la déficience $\delta (a,f)$ n'est pas nulle s'appellent les valeurs de déficience.

Selon le deuxième théorème fondamental, l'ensemble de ces valeurs de déficience est au plus dénombrable et de plus $\sum _a\delta (a,f)\le 2,$ la somme étant prise sur toutes les valeurs de déficienceModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Le problème inverse de la théorie de Nevanlinna consiste à construire des fonctions méromorphes avec des déficiences déterminées à des points donnés. Il a été résolu par David Drasin en 1976 Modèle:,Modèle:Sfn. Il existe de nombreux résultats concernant les valeurs de déficienceModèle:Sfn. Par exemple, Allen Weitsman a montré que pour une fonction méromorphe $f$ d'ordre fini, $\sum _a\delta (a,f{)}^{1/3}<\mathrm{\infty }$.

Un autre corollaire du deuxième théorème fondamental est l'inégalité :

$T(r,f^{\prime })\le 2T(r,f)+S(r,f),$

qui généralise le fait qu'une fonction rationnelle de degré $d$ a $2d-2$ (donc strictement moins que $2d$) points critiques.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
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• Modèle:Article.
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• Modèle:Chapitre.
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