Théorème de Carnot (courbe algébrique)

6 points sur les côtés du triangle et leur conique commune.

Un théorème de Carnot de géométrie euclidienne, dû à Lazare Nicolas Marguerite Carnot, donne une condition pour que des points situés sur les côtés d'un triangle soient situés sur une même conique.

Énoncé

On se donne dans un triangle $ABC$ six points : $C_A,C_B$ sur le côté $(AB)$, $A_B,A_C$ sur le côté $(BC)$ et $B_C,B_A$ sur le côté $(AC)$ .

Ces six points sont situés sur une même conique si et seulement si on a la relation suivante Modèle:,Modèle:,Modèle:, :

$$\frac{\overline{A{C}_A}}{\overline{B{C}_A}}\cdot \frac{\overline{A{C}_B}}{\overline{B{C}_B}}\cdot \frac{\overline{B{A}_B}}{\overline{C{A}_B}}\cdot \frac{\overline{B{A}_C}}{\overline{C{A}_C}}\cdot \frac{\overline{C{B}_C}}{\overline{A{B}_C}}\cdot \frac{\overline{C{B}_A}}{\overline{A{B}_A}}=1$$.

On peut voir ce théorème comme une généralisation au degré 2 du théorème de Ménélaüs portant sur l'alignement de trois points situés sur les côtés d'un triangle.

Ellipse inscrite passant par les pieds de trois céviennes concourantes.

Exemple d'application

Les droites joignant les sommets d'un triangle à deux points donnés coupent les côtés opposés en six points qui sont sur une même conique .

On applique le théorème de Ceva aux trois céviennes passant par le premier point, ainsi qu'aux trois céviennes passant par le deuxième, et le produit des deux relations de Ceva donne la relation de Carnot.

En confondant les deux points, on obtient que les pieds de trois céviennes concourantes sont les points de contact d'une conique inscrite.

Généralisation

Le théorème précédentModèle:Pas clair se généralise à une courbe algébrique sécante à un polygone fermé planModèle:,Modèle:,, ainsi qu'à l'espaceModèle:,Modèle:,Modèle:,Modèle:,.

Énoncé dans le cas du triangle

Théorème de Carnot pour une courbe de degré $n$ Modèle:,Modèle:,Modèle:,.

Étant donné une courbe algébrique quelconque de degré $n$ coupant un triangle $ABC$ :

soit $A_1$ (resp. $B_1$ et $C_1$) le produit des $n$ distances, réelles ou imaginaires, de $A$ (resp. $B$ et $C$) aux $n$ points d'intersection de la courbe avec le côté $(AB)$ (resp. $(BC)$ et $(CA)$),

et soient de même

$A_2$

,

$B_2$

et

$C_2$

les produits semblables associés aux côtés

$(AC)$

,

$(BA)$

et

$(CB)$

. Alors

$A_1{B}_1{C}_1=A_2{B}_2{C}_2.$

Bibliographie

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009Modèle:ISBN