Théorème de Casey

$(t_{12}\cdot t_{34})+(t_{14}\cdot t_{23})-(t_{13}\cdot t_{24})=0$

Le théorème de Casey est un théorème de géométrie démontré en 1881 par le mathématicien irlandais John Casey (1820-1891). Il constitue une généralisation du théorème de Ptolémée.

Énoncé du théorème

Soit $O$ un cercle de rayon $R$. Soient $O_1,O_2,O_3,O_4$ quatre cercles, ne s'intersectant pas, intérieurs à $O$ et tangents à $O$, de rayons $R_i,i=1\cdots 4$. Notons $t_{ij}$ la longueur du segment tangent extérieurement commun aux cercles $O_i,O_j$. Alors :

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

Dans le cas dégénéré, où les quatre cercles se réduisent à des points, on obtient le théorème de Ptolémée.

Démonstration

Si $T_i$ est le point de contact du cercle $O_i$ avec $O$, le quadrilatère $T_1{T}_2{T}_3{T}_4$ étant inscriptible, on a la relation de Ptolémée : $T_1{T}_2\cdot T_3{T}_4+T_2{T}_3\cdot T_4{T}_1=T_1{T}_3\cdot T_2{T}_4$.

La relation de Casey s'obtient à partir de l'expression $t_{ij}=\frac{T_i{T}_j}{R}\sqrt{(R-R_i)(R-R_j)}$ .