Théorème de Koecher-Vinberg

En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957 et Ernest Vinberg en 1961. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».

Énoncé

Un cône convexe $C$ est dit :

• régulier si $a=0$ quand $a$ et $-a$ sont dans l'adhérence $\bar{C}$ ;
• autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual $C^{*}$ ;
• homogène si pour tout couple de points $a,b\in C$ il existe une application linéaire $T:A\to A$ dont la restriction à $C$ est une bijection $C\to C$ et qui vérifie $T(a)=b$.

Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.

Modèle:Théorème Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « Modèle:Lien ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle $A$ est l'intérieur de son cône « positif » $A_{+}:=\{a^2\mid a\in A\}$.

Preuve

Voir Modèle:Harvsp ou Modèle:Harvsp.