Théorème de König-Huygens

Modèle:Homon En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Énoncé en probabilités

Le théorème de König-Huygens s'énonce de la façon suivante : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration

Énoncé en statistiques

Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique.

Généralisation

Cette formulation est en fait un cas particulier d'une identité plus générale.

Relation avec la fonction de Leibniz

Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne Modèle:Mvar est le barycentre du système pondéré $\{(x_i,n_i){\}}_{i=1...k}$. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système $\{(A_i,a_i{)}_{i=1...k}\}$ de barycentre Modèle:Mvar :

$\sum _{i=1}^k{a}_{i}A{A}_i^2=\sum _{i=1}^k{a}_{i}G{A}_i^2+\left(\sum _{i=1}^k{a}_i\right)G{A}^2$

En remplaçant Modèle:Mvar par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par Modèle:Mvar, on obtient

$\sum _{i=1}^k{n}_i(x_i-m^{\prime }{)}^2=\sum _{i=1}^k{n}_i(x_i-m{)}^2+n(m^{\prime }-m{)}^2$

Ce qui est, à un facteur Modèle:Mvar près et à l'ordre près, la formule précédente.

Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)

Soit un système de Modèle:Mvar points matériels Modèle:Mvar, de masses respectives Modèle:Mvar, de masse totale Modèle:Mvar , de centre de masse Modèle:Mvar et un point Modèle:Mvar distant de Modèle:Mvar du point Modèle:Mvar. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne Modèle:Mvar le moment d'inertie du système par rapport à Modèle:Mvar en fonction de Modèle:Mvar le moment d'inertie du système par rapport à $G$ :

$J_A=J_G+M\cdot d^2$

avec

$J_A=\sum _{i=1}^k{m}_{i}A{A}_i^2,J_G=\sum _{i=1}^k{m}_{i}G{A}_i^2,M=\sum _{i=1}^k{m}_i,d^2=G{A}^2.$