Théorème de Monge

En analyse mathématique, le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de deux variables au voisinage d'un point critique.

Énoncé

Soit une fonction $f$ à deux variables $x$ et $y$. Soit un point critique $(x_0,y_0)$. On a en ce point les dérivées premières :

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=p=0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=q=0$

On pose pour les dérivées secondes :

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)=r$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)=s$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x_0,y_0)=t$

Les notations $p,q,r,s,t$ sont appelées « notations de Monge ».

Le calcul du déterminant $\mathrm{\Delta }=rt-s^2$ permet de distinguer les cas suivants :

• si $\mathrm{\Delta }>0$ le point critique est un extrémum local :
  • si $r>0$, c'est un minimum ;
  • si $r<0$, c'est un maximum ;
• si $\mathrm{\Delta }<0$, on a un point selle – ou point col ;
• si $\mathrm{\Delta }=0$, on ne peut rien conclure et il faut mener une étude locale.

Exemples

Coniques

Pour un paraboloïde $f(x,y)=x^2+y^2$, le seul point critique est en $(0;0)$. On a :

$r=2,s=0,t=2\iff \mathrm{\Delta }=4>0$

C'est donc un minimum (global).

Pour un hyperboloïde $f(x,y)=x^2-y^2$, le seul point critique est aussi en $(0;0)$. On a :

$r=2,s=0,t=-2\iff \mathrm{\Delta }=-4<0$

C'est donc un point-selle.

Surface cubique

Pour $f(x,y)=2x^3-y^4-3x^2$, on a deux points critiques en $(0;0)$ et $(1;0)$, mais :

$r=\pm 6,s=0,t=0\iff \mathrm{\Delta }=0$

Il faut donc mener une étude locale de la fonction pour conclure.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.