Théorème de Rouché-Fontené

Le théorème de Rouché-Fontené est un théorème d'algèbre linéaire qui fournit le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires connaissant le rang de sa Modèle:Lien et de la matrice des coefficients. Ce théorème est connu sous les noms de Kronecker-Capelli en Russie, Rouché-Capelli en Italie et dans les pays anglophones et Rouché-Frobenius en Espagne et en Amérique latine.

Énoncé formel

Un système d'équations linéaires à n variables, de la forme AX = b, possède une solution si et seulement si le rang de la matrice des coefficients A est égal à celui de la matrice augmentée (A|b). S'il existe des solutions, elles forment alors un sous-espace affine de ℝModèle:Exp de dimension n − rang(A). En particulier :

• si n = rang(A), la solution est unique ;
• sinon, il existe une infinité de solutions.

Exemples

• Considérons le système d'équations

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 2.

La matrice des coefficients est

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$

et la matrice augmentée est

$(A|B)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\end{array}\right).$

Puisque ces deux matrices ont le même rang, à savoir 2, il existe au moins une solution ; et puisque leur rang est strictement inférieur au nombre d'inconnues (ce dernier étant 3) il y a une infinité de solutions.

• En revanche, si l'on considère le système

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 5,

la matrice des coefficients est

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$

et la matrice augmentée est

$(A|B)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 5\end{array}\right).$

Dans cet exemple, la matrice des coefficients est de rang 2, tandis que la matrice augmentée est de rang 3 ; donc ce système d'équations n'a pas de solution. En effet, une augmentation du nombre de lignes linéairement indépendantes rend le système d'équations incohérent.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage