Théorème de Stallings

Le théorème de Stallings est un théorème de la théorie des groupes des groupes qui caractérise les groupes à plusieurs bouts. Il en résulte une caractérisation des groupes libres par leur dimension cohomologique, parfois aussi appelée théorème de Stallings ou théorème de Stallings-Swan.

John Stallings et Richard Swan ont reçu le prix Frank-Nelson-Cole d'algèbre pour ces résultats.

Théorème de Stallings sur les bouts de groupes

Pour un groupe de type fini $G$ soit $e(G)$ le nombre de bouts du graphe de Cayley de $G$ ; ce nombre est indépendant du choix du système générateur utilisé pour construire le graphe de Cayley. D'après un théorème de Freudenthal, on a $e(G)\le 2$ ou $e(G)=\mathrm{\infty }$. Modèle:Théorème

En particulier, on a $e(G)=\mathrm{\infty }$ pour les groupes de type fini sans torsion exactement quand $G$ un produit libre $G=G_1*G_2$ de deux sous-groupes non triviaux.

Théorème de Stallings-Swan de caractérisation des groupes libres

Il découle du théorème de Stallings qu'un groupe de type fini est libre si et seulement si sa dimension cohomologique est $c{d}_{\mathbb{Z}}(G)=1$.

Une forme plus générale a été démontrée par Swan : Modèle:Théorème

Ce théorème ne nécessite pas l'hypothèse que $G$ est de type fini. La condition d'être sans torsion est toujours satisfaite pour les groupes quand $c{d}_{\mathbb{Z}}(G)<\mathrm{\infty }$.

Une autre conséquence est qu'un groupe sans torsion contenant un sous-groupe libre d'indice fini est lui-même libre.

Développements

Plusieurs autres preuves du théorème de Stallings ont été données après la preuve originale de Stallings. Ainsi, Dunwoody a donné une preuve basée sur les idées de coupes d'arêtes. Ultérieurement, Dunwoody a donné une preuve du théorème de Stallings pour les groupes finiment présentés en utilisant une méthode dite des « pistes » sur les 2-complexes finis. Graham A. Niblo a obtenu une preuve géométrique du théorème de Stallings comme une conséquence d'une version relative de CAT(0)-cubing de Sageev. Mikhaïl Gromov a esquissé une preuve dans sa présentation des groupes hyperboliques, où l'argument des surfaces minimales est remplacé par un argument plus facile d'analyse harmonique et cette approche a été poussée plus loin par Kapovich.

Bibliographie

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