Théorème de Sárközy

Le théorème de Sárközy est une démonstration partielle de la conjecture, due à Paul Erdös, suivante :

Modèle:ThéorèmePuisque $4$ divise$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$ si $n\ne 2^k$, il suffit de considérer le cas des puissances de $2$.Modèle:Théorème

En 1985, András Sárközy montre en outre que

$\ln s(n)\approx (\sqrt{2}-2)\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{n}$

où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann et $s(n)$ la partie carrée de $n$, c'est-à-dire son plus grand diviseur carré.

La borne supérieure $2^{8000}$ est donnée par Andrew Granville et Olivier Ramaré pour $n_0$ (1996). En conjonction avec une vérification antérieure de la conjecture d'Erdős pour $4<n<2^{774840978}$, la démonstration est complète.