Théorème de préparation de Malgrange

En mathématiques, le théorème de préparation de Malgrange est un analogue du théorème de préparation de Weierstrass pour les fonctions $C^{\mathrm{\infty }}$. Étape préliminaire pour établir un théorème de déformations verselles différentiable, ce résultat a été d'abord conjecturé par René Thom avant d'être démontré par Bernard Malgrange.

Énoncé du théorème

Supposons que f soit un germe à l'origine de fonction $C^{\mathrm{\infty }}$ dépendant des variables $,t\in ℝ$ et $x\in {ℝ}^n$ près de l'origine, et supposons l'existence d'un entier k tel que : $f(0,0)=0,\frac{\partial f}{\partial t}(0,0)=0,\dots ,\frac{{\partial }^{k-1}f}{\partial t^{k-1}}(0,0)=0,\frac{{\partial }^{k}f}{\partial t^k}(0,0)\ne 0.$

Le théorème affirme que la fonction f s'écrit alors sous la forme : $f(t,x)=c(t,x)(t^k+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_0(x))$ où les germes de fonction c et a sont $C^{\mathrm{\infty }}$et c est non nul à l'origine.

Bibliographie

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