Équation de Navier

Modèle:Ébauche En mécanique des milieux continus, l’équation de Navier est l'équation qui relie la déformation d'un solide élastique linéaire isotrope aux forces appliquées.

L'équation de Navier

On note $𝐮(𝐱,t)$ le champ des déplacements et ${𝐟}_v$ la force volumique qui s'exerce.

On a  :

${\rho }_0\frac{{\partial }^2𝐮}{\partial t^2}=(\lambda +\mu )𝐠𝐫𝐚𝐝\left(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐮\right)+\mu \mathrm{\Delta }𝐮+{𝐟}_v$

où $\lambda$ et $\mu$ sont les coefficients de Lamé du solide et ${\rho }_0$ sa masse volumique. On peut écrire cette équation en fonction du module de Young E et du coefficient de Poisson $\nu$ :

Démonstration

On note $\mathit{\sigma }$ le tenseur des contraintes et $𝒆$ le tenseur des déformations. La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

${\rho }_0\frac{{\partial }^2𝐮}{\partial t^2}=𝐝𝐢𝐯\mathit{\sigma }+{𝐟}_v$

D'autre part, on a la loi de Hooke :

$\mathit{\sigma }=\lambda \mathrm{T}\mathrm{r}\left(𝒆\right)𝐈+2\mu 𝒆$

d'où (en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein)) :

$\begin{array}{cc}{\left(𝐝𝐢𝐯\mathit{\sigma }\right)}_i& =\lambda {\left(𝐝𝐢𝐯\left(\mathrm{T}\mathrm{r}\left(𝒆\right)𝐈\right)\right)}_i+2\mu {\left(𝐝𝐢𝐯𝒆\right)}_i\\ & =\lambda \frac{\partial }{\partial x_j}{\left(\mathrm{T}\mathrm{r}\left(𝒆\right)𝐈\right)}_{ij}+2\mu \frac{\partial e_{ij}}{\partial x_j}\\ & =\lambda \frac{\partial e_{ll}}{\partial x_i}+2\mu \frac{\partial e_{ij}}{\partial x_j}\\ & =\lambda \frac{{\partial }^2{u}_l}{\partial x_i\partial x_l}+\mu \frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})\\ & =(\lambda +\mu )\frac{{\partial }^2{u}_j}{\partial x_i\partial x_j}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_j^2}\\ & =(\lambda +\mu )(𝐠𝐫𝐚𝐝\left(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐮\right){)}_i+\mu (\mathrm{\Delta }𝐮{)}_i\end{array}$

ce qui donne la relation cherchée.

Voir aussi

Articles connexes

• Henri Navier
• Mécanique des milieux continus
• Loi de Hooke