Équation de Schrödinger semi-linéaire

L'équation de Schrödinger semi-linéaire est une équation comportant un terme linéaire de type équation de Schrödinger et un terme de réaction non linéaire :

$i\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+\mathrm{\Delta }u(t,x)+f(t,x,u(t,x))=0.$

Modélisation

L'équation de Schrödinger semi-linéaire intervient dans de nombreux domaines de la physique : propagation d'ondes, optique non linéaire, modèles de lasers, modèles de plasma, etc.

Équation de Schrödinger cubique focalisante

$i\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+\mathrm{\Delta }u(t,x)+|u(t,x){|}^{2}u(t,x)=0.$

L'Hamiltonien associé est :

$H(u)=\int (\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}u(t,x){|}^2-\frac{1}{4}|u(t,x){|}^4)dx.$

Équation de Schrödinger cubique défocalisante

$i\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+\mathrm{\Delta }u(t,x)-|u(t,x){|}^{2}u(t,x)=0.$

L'Hamiltonien associé est :

$H(u)=\int (\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}u(t,x){|}^2+\frac{1}{4}|u(t,x){|}^4)dx.$

Solutions

Les solutions pour l'équation de Schrödinger sont des solutions particulières du type : $u(t,x)=Q(x)e^{i\omega t}$.

En dimension 1, l'équation de Schrödinger cubique est intégrable et peut être résolue avec une méthode de diffusion inverse. En particulier, l'interaction de deux solutions est explicite.

Bibliographie

• Introduction aux équations de Schrödinger non linéaires, J. Ginibre, Cours de DEA 1994-1995.
• Nonlinear Schrödinger equation.
• Inverse scattering transform.