Voir la source de (p, q)-shuffle

{{Titre mis en forme|(''p'', ''q'')-''{{Lang|en|shuffle}}''}}
{{Voir homonymes|Shuffle}}
En [[mathématiques]], pour deux [[entiers naturels]] ''p ''et ''q'', un '''(''p'', ''q'')-''{{Lang|en|shuffle}}'''''<ref>Ce nom [[anglais]] est une allusion au {{Lien|trad=Shuffling|brassage de cartes}}, justifiée en détail par {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Saunders|nom1=Mac Lane|lien auteur1=Saunders Mac Lane|titre=Homology|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss.]]|numéro dans collection=114|année=1994|numéro d'édition=4|année première édition=1963|pages totales=422|passage=243|isbn=978-3-540-58662-3|lire en ligne={{Google Livres|pxRlrJn-WPgC|page=243}}}}.</ref> est<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|lang=en|trad=Charles Weibel|fr=Charles Weibel (mathématicien)|texte=Charles Weibel}}|titre=An Introduction to Homological Algebra|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1995|pages totales=450|passage=181|isbn=978-0-521-55987-4|lire en ligne={{Google Livres|flm-dBXfZ_gC|page=181}}}}.</ref>{{,}}<ref name=ML/> un élément {{formule|σ}} du [[groupe symétrique]] S{{ind|''p+q''}} des [[permutation]]s de l'ensemble {{nobr|<nowiki>{</nowiki>1, …, ''p + q''<nowiki>}</nowiki><ref>Une variante est de permuter l'ensemble {{nobr|<nowiki>{</nowiki>0, …, ''p + q ''– 1<nowiki>}</nowiki>}}, comme {{Ouvrage|langue=en|prénom1=J. Peter|nom1=May|lien auteur1=J. Peter May|titre=Simplicial Objects in Algebraic Topology|éditeur=[[University of Chicago Press|UCP]]|année=1993|année première édition=van Nostrand, 1967|pages totales=161|passage=17|isbn=978-0-226-51181-8|lire en ligne={{Google Livres|QGjwV0gyQnIC|page=17}}}}.</ref>,}} tel que
<center><math>\sigma(1)<\ldots<\sigma(p)\quad{\rm et}\quad\sigma(p+1)<\ldots<\sigma(p+q).</math></center>

Les (''p'', ''q'')-''{{Lang|en|shuffles}}'' sont en [[bijection]] avec — et parfois définis comme<ref name=ML/>{{,}}<ref name=Loday>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jean-Louis|nom1=Loday|lien auteur1=Jean-Louis Loday|titre=Cyclic Homology|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=Grund. math. Wiss.|numéro dans collection=301|année=1998|année première édition=1992|passage=47-48|isbn=}}.</ref> — les [[Partition (mathématiques)|partitions]] de l'ensemble {{nobr|1=[[Catégorie simpliciale|<nowiki>[</nowiki>''p + q ''– 1<nowiki>]</nowiki>]] = <nowiki>{</nowiki>0, …, ''p + q ''– 1<nowiki>}</nowiki>}} en deux [[sous-ensemble]]s [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaires]] {{formule|μ, ν}} à ''p ''et ''q ''éléments, numérotés en croissant :

<center><math>\mu_1<\ldots<\mu_p\quad{\rm et}\quad\nu_1<\ldots<\nu_q.</math></center>

Leur nombre est donc égal au [[coefficient binomial]]

{{Retrait|<math>{p+q \choose p}</math>}}

et la [[Signature d'une permutation|signature de la permutation]] {{formule|σ}} associée à la partition {{formule|(μ, ν)}} est égale à<ref name=ML>{{Harvsp|Mac Lane|1994|p=243}}.</ref>

{{Retrait|<math>(-1)^{\varepsilon(\mu)},\quad{\rm avec}\quad\varepsilon(\mu)=\sum_{i=1}^p(\mu_i-(i-1)).</math>}}

==Utilisations==

Le [[Algèbre extérieure|produit extérieur]] de deux [[Forme multilinéaire|formes multilinéaires]] [[Application multilinéaire#Application alternée|alternées]], une ''p''-forme et une ''q''-forme, peut être défini comme une somme indexée par l'ensemble des (''p'', ''q'')-''{{Lang|en|shuffles}} ''et [[Combinaison linéaire|pondérée]] par leurs signatures.

Le ''{{Lang|en|shuffle}}'', ou « produit de mélange », ou  « application d'[[Samuel Eilenberg|Eilenberg]]-[[Saunders Mac Lane|MacLane]]<ref name=May133/> », défini de façon analogue, intervient dans une [[Démonstration constructive|démonstration explicite]] du [[théorème d'Eilenberg-Zilber]], comme [[quasi-isomorphisme]] réciproque de l'application d'[[James Waddell Alexander II|Alexander]]-[[Hassler Whitney|Whitney]]<ref name=ML/>{{,}}<ref name=Loday/>{{,}}<ref name=May133>{{Harvsp|May|1993|p=133}}.</ref>.

Le même type de sommes permet de munir l'[[algèbre tensorielle]] d'un [[espace vectoriel]] d'une structure de [[bigèbre]].

==Notes et références==
{{Références}}

{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:P, q shuffle}}
[[Catégorie:Permutation]]
[[Catégorie:Algèbre homologique]]