(p, q)-shuffle

Modèle:Titre mis en forme Modèle:Voir homonymes En mathématiques, pour deux entiers naturels p et q, un (p, q)-Modèle:Lang estModèle:, un élément Modèle:Formule du groupe symétrique SModèle:Ind des permutations de l'ensemble Modèle:Nobr tel que

$\sigma (1)<\dots <\sigma (p)\mathrm{e}\mathrm{t}\sigma (p+1)<\dots <\sigma (p+q).$

Les (p, q)-Modèle:Lang sont en bijection avec — et parfois définis commeModèle:, — les partitions de l'ensemble Modèle:Nobr en deux sous-ensembles complémentaires Modèle:Formule à p et q éléments, numérotés en croissant :

${\mu }_1<\dots <{\mu }_p\mathrm{e}\mathrm{t}{\nu }_1<\dots <{\nu }_q.$

Leur nombre est donc égal au coefficient binomial

et la signature de la permutation Modèle:Formule associée à la partition Modèle:Formule est égale à

Utilisations

Le produit extérieur de deux formes multilinéaires alternées, une p-forme et une q-forme, peut être défini comme une somme indexée par l'ensemble des (p, q)-Modèle:Lang et pondérée par leurs signatures.

Le Modèle:Lang, ou « produit de mélange », ou « application d'Eilenberg-MacLane », défini de façon analogue, intervient dans une démonstration explicite du théorème d'Eilenberg-Zilber, comme quasi-isomorphisme réciproque de l'application d'Alexander-WhitneyModèle:,Modèle:,.

Le même type de sommes permet de munir l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel d'une structure de bigèbre.