Théorème d'Eilenberg-Zilber

En mathématiques, le théorème d'Eilenberg-Zilber est un résultat de topologie algébrique qui établit une équivalence d'homotopie entre le complexe de chaînes du produit de deux espaces et le produit tensoriel des complexes de chaînes de chacun d'eux. Le calcul de l'homologie de l'espace produit en fonction de celles des deux facteurs est ainsi réduit à un pur problème d'algèbre homologique, traité par le théorème de Künneth.

Contexte

Ce théorème s'applique aussi bien à des espaces topologiques et leurs complexes de chaînes singulières qu'à des ∆-complexes et leurs complexes de chaînes simpliciales car il porte plus généralement sur les modules simpliciauxModèle:,.

Étant donnés deux modules simpliciaux M et N (sur un anneau commutatif arbitraire), on a deux façons naturelles de leur associer un complexe de chaînes :

• soit en formant d'abord les deux complexes de chaînes associés MModèle:Ind et NModèle:Ind puis en prenant le produit tensoriel MModèle:Ind⊗NModèle:Ind,
• soit en définissant d'abord le module simplicial produit M×N :Modèle:Retraitpuis en prenant le complexe de chaînes associé, (M×N)Modèle:Ind.

Les deux complexes de chaînes MModèle:Ind⊗NModèle:Ind et (M×N)Modèle:Ind ont même module de degré 0, MModèle:Ind⊗NModèle:Ind, et la technique des Modèle:LienModèle:, permet, par récurrence sur le degré, de prolonger naturellement cet isomorphisme en degré 0 en deux morphismes de complexes de chaînes,

$f:(M\times N{)}_{*}\to (M_{*})\otimes (N_{*})\mathrm{e}\mathrm{t}g:(M_{*})\otimes (N_{*})\to (M\times N{)}_{*}$

tels que f∘g et g∘f soient (naturellement) homotopes à l'identité. Ce couple (f, g) n'est unique qu'à équivalence d'homotopie (naturelle) près mais la méthode en fournit un, que l'on peut expliciter comme suitModèle:,.

Applications d'Alexander-Whitney et de mélange

Pour préciser f, on introduit une notation commode : en chaque degré n, Modèle:Surligner désigne la dernière face, dModèle:Ind. L'application f est l'application AW d'Alexander-Whitney, décrite par :

$A{W}_n=\sum _{p+q=n}(\overline{d}{)}^q\otimes (d_0{)}^p:M_n\otimes N_n\to \underset{p+q=n}{⨁}{M}_p\otimes N_q.$

L'application g est l'application sh de Modèle:Lang, ou « produit de mélange » :

$s{h}_{p,q}=\sum _{(\mu ,\nu )}(-1{)}^{\epsilon (\mu )}(s_{{\nu }_q}\dots s_{{\nu }_1})\otimes (s_{{\mu }_p}\dots s_{{\mu }_1}):M_p\otimes N_q\to M_{p+q}\otimes N_{p+q},$

où la somme est prise sur tous les [[(p, q)-shuffle|(p, q)-Modèle:Lang]] Modèle:Math.