Transformation naturelle

Modèle:Ébauche En théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs.

Définition

Soient $𝒞$ et $𝒟$ deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de $𝒞$ dans $𝒟$. Une transformation naturelle Modèle:Math de F vers G est la donnée, pour tout objet X de $𝒞$, d'un morphisme de $𝒟$ :

${\eta }_X:F(X)\to G(X)$,

tel que pour tous objets X et Y de $𝒞$ et tout morphisme $f$ de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

c'est-à-dire tel que :

${\eta }_Y\circ F(f)=G(f)\circ {\eta }_X$,

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de $𝒞$, Modèle:Math est un isomorphisme, on dit que Modèle:Math est une « équivalence naturelle » ou un « isomorphisme naturel ».

Bibliographie

Modèle:Traduction/Référence