Ensemble simplicial
Modèle:Ébauche En mathématiques, un ensemble simplicial X est un objet de nature combinatoire intervenant en topologie. Il est la donnée :
- d'une famille (XModèle:Ind) d'ensembles, indexée par les entiers naturels, les éléments de XModèle:Ind étant pensés comme des simplexes de dimension n et
- pour toute application croissanteModèle:Centrerd'une applicationModèle:Centrer
le tout tel queModèle:Centrer Autrement dit : X est un foncteur contravariant, de la catégorie simpliciale Δ dans la catégorie Set des ensembles, ou encore un foncteur covariant de la catégorie opposée ΔModèle:Exp dans Set.
Exemple
À tout complexe simplicial abstrait (V, Σ) est associé naturellement l'ensemble simplicial X dont les n-simplexes sont les applications g de {0, … , n} dans V dont l'image appartient à Σ, avec Modèle:Nobr
Homologie
Soit K un anneau commutatif. À tout ensemble E est associé un K-module libre K[E] de base E donc par fonctorialité, à tout ensemble simplicial X est associé un K-module simplicial M = K[X][1] : pour tout entier n, le module MModèle:Ind est le K-module libre K[XModèle:Ind] et (en notant[2] [n] l'ensemble totalement ordonné {0, 1, … , n}) pour toute application croissante f : [m] → [n], l'application linéaire Modèle:Nobr est l'application Modèle:Nobr induite par Modèle:Nobr
Par ailleurs, à tout module simplicial M on associe naturellement un complexe de chaînes en posant, pour tout n : Modèle:Retrait où δModèle:IndModèle:Exp : [n – 1] → [n] désigne la iModèle:E coface, c'est-à-dire l'injection croissante de [n – 1] dans [n] dont l'image ne contient pas i.
L'homologie simpliciale (à coefficients dans K) de l'ensemble simplicial X est par définition[1] l'homologie du complexe de chaînes associé au module simplicial K[X].
Elle ne dépend par construction que de la structure de module semi-simplicial déduite de K[X], donc de celle d'Modèle:Lien déduite de X, par oubli des dégénérescences.
Notes et références
- Modèle:En S. I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, chap. 1.
Articles connexes
- ↑ 1,0 et 1,1 Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Ouvrage, Chap. 3, Appendix A.