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En [[théorie des nombres]], l''''écart entre nombres premiers''' désigne la différence entre deux [[nombre premier|nombres premiers]] consécutifs.

De nombreux résultats et conjectures sont liés à cet objet. Par exemple la [[Nombres premiers jumeaux#Conjecture des nombres premiers jumeaux|conjecture des nombres premiers jumeaux]] dit que la suite des écarts entre nombres premiers prend la valeur 2 un nombre infini de fois.

Ainsi les 30 premiers écarts ({{OEIS|id=A001223}}) sont :
:1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14.

== Définition ==
En notant {{mvar|p{{ind|n}}}} le {{mvar|n}}-ième nombre premier, le {{mvar|n}}-ième écart est :
<center><math>g_n=p_{n+1}-p_{n}</math>.</center>

Ce qui permet aussi d'écrire
:<math>p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i</math>.

== Observations simples ==
[[Théorème d'Euclide sur les nombres premiers|De même que <math>(p_n)</math>]], la suite {{math|(''g{{ind|n}}}}) est non [[Suite bornée|bornée]] : si l'on note {{mvar|q{{ind|n}}}} le produit [[Primorielle|{{math|''p''{{ind|1}}…''p{{ind|n}}''}}]], tous les entiers de {{math|''q{{ind|n}}'' + 2}} à {{mvar|q{{ind|n}} + p{{ind|n}}}} sont [[Nombre composé|composés]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|langue originale=en|auteur1=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]]|auteur2=[[Edward Maitland Wright|E. M. Wright]]|traducteur=F. Sauvageot|titre=Introduction à la théorie des nombres|titre original=[[Modèle:HardyWright|An Introduction to the Theory of Numbers]]|lieu=Paris/Heidelberg|éditeur=[[Vuibert]]-[[Springer Verlag|Springer]]|année=2007|pages totales=568|passage=6|isbn=978-2-7117-7168-4}} et {{Ouvrage|auteur1=[[Édouard Lucas]]|titre=Théorie des nombres|éditeur=|année=1891|passage=359-361|lire en ligne=https://archive.org/stream/thoriedesnombre00lucagoog#page/n375/mode/2up}} (référence fournie par {{Harvsp|Hardy|Wright|2007|p=12}}).</ref>.

Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.

(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.

== Résultats et conjectures ==
[[File:Wikipedia primegaps.png|thumb|upright=2|Tracé de {{mvar|g{{ind|n}}}} et de diverses bornes.]]

D'après le [[postulat de Bertrand]], {{math|''g{{ind|n}}'' < ''p{{ind|n}}''}}.

Le [[théorème des nombres premiers]] suggère que {{mvar|g{{ind|n}}}} est<ref>{{lien web|url=http://images.math.cnrs.fr/Deux-grandes-avancees-autour-des.html|titre=Deux grandes avancées autour des nombres premiers|auteur=Bruno Duchesne|site=[[Images des mathématiques]]|date=12 juillet 2013}}.</ref> asymptotiquement de l'ordre de {{math|log ''n''}}, et la [[conjecture de Cramér]] pronostique un comportement en le carré du logarithme<ref>{{article|lang=en|auteur=[[Harald Cramér]]|titre=On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers |journal=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#A|Acta Arithmetica]]|volume=2|année=1936 |pages=23-46}}.</ref>. La [[conjecture des nombres premiers jumeaux]] dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.

L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les [[primorielle]]s de {{mvar|p{{ind|n}}}}<ref>{{article|langue=fr|auteur=[[Jean-Paul Delahaye]]|page=7|titre= Premiers jumeaux : frères ennemis ?|url=http://www.lifl.fr/~jdelahay/SIME/JPD/PLS_Nb_premiers_jumeaux.pdf|périodique=[[Pour la science]]|date=juin 1999|numéro=260}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
===Article connexe===
[[Inégalité de Bonse]]

===Lien externe===
{{lien web|lang=en|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2015/07/lat.pdf|titre=Small and large gaps in the primes (slides)|auteur=[[Terence Tao]]|date=Avril 2015}}

{{Portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Nombre premier]]