Écart entre nombres premiers
En théorie des nombres, l'écart entre nombres premiers désigne la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
De nombreux résultats et conjectures sont liés à cet objet. Par exemple la conjecture des nombres premiers jumeaux dit que la suite des écarts entre nombres premiers prend la valeur 2 un nombre infini de fois.
Ainsi les 30 premiers écarts (Modèle:OEIS) sont :
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14.
Définition
En notant Modèle:Mvar le Modèle:Mvar-ième nombre premier, le Modèle:Mvar-ième écart est :
Ce qui permet aussi d'écrire
- .
Observations simples
De même que , la suite Modèle:Math) est non bornée : si l'on note Modèle:Mvar le produit [[Primorielle|Modèle:Math]], tous les entiers de Modèle:Math à Modèle:Mvar sont composés[1].
Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.
(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.
Résultats et conjectures
D'après le postulat de Bertrand, Modèle:Math.
Le théorème des nombres premiers suggère que Modèle:Mvar est[2] asymptotiquement de l'ordre de Modèle:Math, et la conjecture de Cramér pronostique un comportement en le carré du logarithme[3]. La conjecture des nombres premiers jumeaux dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.
L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de Modèle:Mvar[4].
Notes et références
Voir aussi
Article connexe
Lien externe
- ↑ Modèle:Ouvrage et Modèle:Ouvrage (référence fournie par Modèle:Harvsp).
- ↑ Modèle:Lien web.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.