Conjecture de Cramér

En mathématiques, la conjecture de Cramér, formulée par le mathématicien suédois Harald Cramér en 1936, pronostique l'asymptotique suivante pour l'écart entre nombres premiers :

$g_n=p_{n+1}-p_n=O((\ln p_n{)}^2),$

où g_n est le n-ième écart, p_n est le n-ième nombre premier et $O$ désigne le symbole de Bachmann-Landau ; cette conjecture n'est pas démontrée à ce jour.

Énoncés liés

Cramér avait auparavant, en 1920, démontré un énoncé plus faible :

$p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)$

sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).

Andrew Granville a affiné la conjecture initiale de Cramér en proposant la constante

$2e^{-\gamma }\approx 1,1229\dots .$

comme limite supérieure de la suite

$\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n{)}^2}$.

Des calculs poussés indiquent que cette estimation est plausible.

Dans l'autre direction, on sait que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\mathrm{\infty }$.

Articles connexes

• Conjecture d'Andrica
• Conjecture de Firoozbakht
• Conjecture de Legendre