Voir la source de Élément conjugué

{{homon|Conjugaison (homonymie)}}

En [[mathématiques]], les '''éléments conjugués''' d'un [[élément algébrique]] {{mvar|x}} sur un [[Corps commutatif|corps]] {{mvar|K}} sont les [[Racine d'un polynôme|racines]] de son [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] sur {{mvar|K}}, dans une [[Extension de corps|extension]] {{mvar|L}} de {{mvar|K}} où ce polynôme est [[Polynôme scindé|scindé]].
De façon équivalente, les conjugués de {{mvar|x}} sont les images de {{mvar|x}} par les automorphismes de {{math|''L''/''K''}}.   

== Exemples ==
*Si {{mvar|α}} est un élément de {{mvar|K}}, son polynôme minimal sur {{mvar|K}} est {{mvar|X – α}} donc son seul conjugué sur {{mvar|K}} est lui-même.
*Si {{math|''α {{=}} a'' + i''b''}} est un [[nombre complexe]] non [[Nombre réel|réel]], c'est-à-dire si sa [[partie imaginaire]] {{mvar|b}} est non nulle, alors son polynôme minimal sur ℝ est {{math|(''X – α'')(''X – {{surligner|α}}'') {{=}} ''X''{{2}} – 2''aX'' + ''a''{{2}}+''b''{{2}}}} donc ses conjugués sur ℝ sont {{mvar|α}} lui-même et son [[Conjugué|nombre complexe conjugué]] {{surligner|α}}.
*Les [[Racine de l'unité#Exemples|racines cubiques de l'unité dans ℂ]] sont
<center><math>1,\quad\mathrm j=\mathrm{e}^\frac{2\mathrm i\pi}3=\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2\quad\text{et}\quad\mathrm j^2=\overline{\mathrm j}=\mathrm{e}^\frac{-2\mathrm i\pi}3=\frac{-1-\mathrm i\sqrt3}2.</math></center>
Sur [[Nombre rationnel|ℚ]], {{math|j}} et {{math|j{{2}}}} ont pour polynôme minimal commun {{math|''X''{{2}} + ''X'' + 1}} et sont conjugués.
Plus généralement, les racines primitives {{mvar|n}}-ièmes de l'unité dans ℂ ont pour polynôme minimal sur ℚ le {{mvar|n}}-ième [[polynôme cyclotomique]] et sont conjuguées sur ℚ.

== Propriétés ==
*Le polynôme minimal de {{mvar|α}} sur {{mvar|K}} est scindé sur toute [[extension normale]] {{mvar|L}} de {{mvar|K}} contenant {{mvar|α}} (par exemple une [[clôture algébrique]] de {{mvar|K}}, ou même seulement un [[corps de décomposition]] du polynôme)<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Serge|nom1=Lang|lien auteur1=Serge Lang|titre=Algebra|éditeur=|année=|isbn=|référence=Référence:Algèbre (Lang)}}, {{8e}} réimpr., 1978, p. 182</ref>. Les conjugués de {{mvar|α}} sont alors les images de {{mvar|α}} par les éléments du [[groupe de Galois]] de l'extension.
*Soient {{mvar|α}} un [[entier algébrique]] non nul et {{math|{{!}}{{surligner|''α''}}{{!}}}}, le plus grand des [[Module d'un nombre complexe|modules]] de ses conjugués sur ℚ. [[Leopold Kronecker|Kronecker]] a démontré<ref>{{article|lang=de|prénom=L.|nom=Kronecker|titre=Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten|revue=J. reine angew. Math.|lien périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=53|année=1857|p.=173-175|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0053&DMDID=DMDLOG_0012}}</ref>{{,}}<ref name=Narkiewicz>{{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Władysław Narkiewicz]]|titre=Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2004|numéro d'édition=3|pages totales=712|passage=49 et 71|isbn=978-3-540-21902-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=Pw4F-EVIK-oC&pg=PA49}}</ref>{{,}}<ref>{{chapitre|lang=en|titre=Conjugate algebraic numbers on conics: A survey|titre ouvrage=Number Theory and Polynomials|numéro dans collection=352|collection=[[London Mathematical Society|LMS]] Lecture Note Series|prénom1=James Fraser|nom1=McKee|auteurs ouvrage=J. F. McKee et C. Smyth|éditeur=CUP|lien éditeur=Cambridge University Press|année=2008|isbn=978-0-52171467-9|passage=211-240|url=https://books.google.fr/books?id=wxTY-hABUzYC&pg=PA211}}</ref> que
#si {{math|{{!}}{{surligner|''α''}}{{!}}}} est inférieur ou égal à 1 alors {{mvar|α}} est une racine de l'unité ;
#si {{math|{{!}}{{surligner|''α''}}{{!}}}} est inférieur ou égal à 2 et {{mvar|α}} est [[Corps totalement réel|totalement réel]], c'est-à-dire si tous les conjugués de {{mvar|α}} sur ℚ appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors {{mvar|α}} est de la forme {{math|2 cos(π''r'')}} pour un certain rationnel {{mvar|r}}.<br />
Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du [[théorème des unités de Dirichlet]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Gerald J.|nom1=Janusz|titre=Algebraic Number Fields|éditeur=[[Academic Press]]|collection=Pure and Applied Mathematics|numéro dans collection=55|année=1973|numéro d'édition=3|pages totales=220|passage=55|isbn=978-0-12-380250-7|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=4VcriqDY2ycC&pg=PA55}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Serge|nom1=Lang|titre=Algebraic Number Theory|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=110|année=1994|numéro d'édition=2|pages totales=357|passage=105|isbn=978-0-387-94225-4|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=u5eGtA0YalgC&pg=PA105}}</ref>) : pour tout entier {{math|''n''}} et tout réel {{math|''C''}}, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques {{mvar|α}} tels que le degré (du polynôme minimal) de {{mvar|α}} soit inférieur ou égal à {{math|''n''}} et que {{math|{{!}}{{surligner|''α''}}{{!}} ≤ ''C''}}.

{{Démonstration|titre=Démonstrations|
*Preuve du lemme : les coefficients du polynôme minimal {{mvar|P}} de {{mvar|α}} sont des [[Polynôme symétrique|fonctions symétriques]] des conjugués de {{mvar|α}}. Si le degré de {{mvar|P}} et les conjugués de α sont bornés alors ces coefficients le sont aussi donc (comme ce sont des entiers) ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs. Ainsi, l'ensemble considéré est fini, comme ensemble des racines d'un nombre fini de polynômes.
*Preuve du point 1 : si {{mvar|α}} est de degré {{mvar|n}} alors toutes ses puissances sont de degré inférieur ou égal à {{mvar|n}}. En appliquant le lemme pour {{math|''C'' {{=}} 1}}, on en déduit que ces puissances sont en nombre fini, ce qui permet de conclure.}}

Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de {{mvar|α}}, une majoration de |{{surligner|α}}| moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité<ref name=Narkiewicz/>.

== Conjugués d'un polynôme ==
Supposons que {{math|''f''(''x'')}} soit un polynôme [[Extension séparable| séparable]] et [[polynôme irréductible|irréductible]] dans {{math|''K''[''X'']}}, et qu'il existe une [[extension de corps|extension]] {{math|''M''/''K''}} et un polynôme {{mvar|g}} dans {{math|''M''[''X'']}} tel que {{mvar|g}} divise {{mvar|f}} dans {{math|''M''[''X'']}}.
Si l'on dénote par ''L'' le [[corps de décomposition]] de {{mvar|f}} sur {{mvar|K}}, {{math|''L''/''K''}} est [[Théorie de Galois|galoisienne]], et {{math|''L''[''X'']/''K''[''X'']}} est isomorphe à {{math|''L''/''K''}}. De plus, les coefficients de {{mvar|g}} appartiennent à ''L''. En particulier, le polynôme {{mvar|g}} est [[élément algébrique|algébrique]] sur {{math|''K''[''X'']}}, et donc possède des éléments conjugués sur {{math|''K''[''X'']}} : l'ensemble des conjugués de {{mvar|g}} s'obtient en appliquant les automorphismes de {{math|Gal(''L''/''K'')}} sur les coefficients de {{mvar|g}}.

=== Propriétés ===
Il est naturel de penser que le produit des conjugués de {{mvar|g}} est égal à {{mvar|f}}, mais c'est inexact, sauf si {{mvar|g}} est irréductible et que {{mvar|f}} est primitif, dans le sens où {{math|''L''/''K''}} est engendré par une seule racine de {{mvar|f}}{{refsou}}.

En général, le produit des conjugués de {{mvar|g}} est égal à {{mvar|cf<sup>n</sup>}}, où {{mvar|c}} appartient au corps {{mvar|K}} et {{mvar|n}} est un nombre naturel{{refsou}}.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Lemme de Krasner]]
*[[Nombre de Pisot-Vijayaraghavan]]
*[[Nombre de Salem]]

=== Lien externe ===
{{MathWorld|titre=Conjugate Elements|nom_url=ConjugateElements}}

{{Portail|algèbre}}

{{DEFAULTSORT:Element conjugue}}
[[Catégorie:Théorie de Galois]]