Élément conjugué

En mathématiques, les éléments conjugués d'un élément algébrique Modèle:Mvar sur un corps Modèle:Mvar sont les racines de son polynôme minimal sur Modèle:Mvar, dans une extension Modèle:Mvar de Modèle:Mvar où ce polynôme est scindé. De façon équivalente, les conjugués de Modèle:Mvar sont les images de Modèle:Mvar par les automorphismes de Modèle:Math.

Exemples

• Si Modèle:Mvar est un élément de Modèle:Mvar, son polynôme minimal sur Modèle:Mvar est Modèle:Mvar donc son seul conjugué sur Modèle:Mvar est lui-même.
• Si Modèle:Math est un nombre complexe non réel, c'est-à-dire si sa partie imaginaire Modèle:Mvar est non nulle, alors son polynôme minimal sur ℝ est Modèle:Math donc ses conjugués sur ℝ sont Modèle:Mvar lui-même et son nombre complexe conjugué Modèle:Surligner.
• Les racines cubiques de l'unité dans ℂ sont

$1,\mathrm{j}={\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi }{3}}=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\text{et}{\mathrm{j}}^2=\bar{\mathrm{j}}={\mathrm{e}}^{\frac{-2\mathrm{i}\pi }{3}}=\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}.$

Sur ℚ, Modèle:Math et Modèle:Math ont pour polynôme minimal commun Modèle:Math et sont conjugués. Plus généralement, les racines primitives Modèle:Mvar-ièmes de l'unité dans ℂ ont pour polynôme minimal sur ℚ le Modèle:Mvar-ième polynôme cyclotomique et sont conjuguées sur ℚ.

Propriétés

• Le polynôme minimal de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar est scindé sur toute extension normale Modèle:Mvar de Modèle:Mvar contenant Modèle:Mvar (par exemple une clôture algébrique de Modèle:Mvar, ou même seulement un corps de décomposition du polynôme). Les conjugués de Modèle:Mvar sont alors les images de Modèle:Mvar par les éléments du groupe de Galois de l'extension.
• Soient Modèle:Mvar un entier algébrique non nul et Modèle:Math, le plus grand des modules de ses conjugués sur ℚ. Kronecker a démontréModèle:,Modèle:, que

1. si Modèle:Math est inférieur ou égal à 1 alors Modèle:Mvar est une racine de l'unité ;
2. si Modèle:Math est inférieur ou égal à 2 et Modèle:Mvar est totalement réel, c'est-à-dire si tous les conjugués de Modèle:Mvar sur ℚ appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors Modèle:Mvar est de la forme Modèle:Math pour un certain rationnel Modèle:Mvar.
   

Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du théorème des unités de DirichletModèle:,) : pour tout entier Modèle:Math et tout réel Modèle:Math, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques Modèle:Mvar tels que le degré (du polynôme minimal) de Modèle:Mvar soit inférieur ou égal à Modèle:Math et que Modèle:Math.

Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de Modèle:Mvar, une majoration de |Modèle:Surligner| moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité.

Conjugués d'un polynôme

Supposons que Modèle:Math soit un polynôme séparable et irréductible dans Modèle:Math, et qu'il existe une extension Modèle:Math et un polynôme Modèle:Mvar dans Modèle:Math tel que Modèle:Mvar divise Modèle:Mvar dans Modèle:Math. Si l'on dénote par L le corps de décomposition de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar, Modèle:Math est galoisienne, et Modèle:Math est isomorphe à Modèle:Math. De plus, les coefficients de Modèle:Mvar appartiennent à L. En particulier, le polynôme Modèle:Mvar est algébrique sur Modèle:Math, et donc possède des éléments conjugués sur Modèle:Math : l'ensemble des conjugués de Modèle:Mvar s'obtient en appliquant les automorphismes de Modèle:Math sur les coefficients de Modèle:Mvar.

Propriétés

Il est naturel de penser que le produit des conjugués de Modèle:Mvar est égal à Modèle:Mvar, mais c'est inexact, sauf si Modèle:Mvar est irréductible et que Modèle:Mvar est primitif, dans le sens où Modèle:Math est engendré par une seule racine de Modèle:MvarModèle:Refsou.

En général, le produit des conjugués de Modèle:Mvar est égal à Modèle:Mvar, où Modèle:Mvar appartient au corps Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est un nombre naturelModèle:Refsou.

Voir aussi

Articles connexes

• Lemme de Krasner
• Nombre de Pisot-Vijayaraghavan
• Nombre de Salem