Racine d'un polynôme

Courbe représentative du polynôme P(x)=(x-1)(x-2)(x-3). Ses racines sont 1, 2 et 3

En mathématiques, une racine d'un polynôme Modèle:Formule est une valeur α telle que Modèle:Formule. C'est donc une solution de l'équation polynomiale Modèle:Formule d'inconnue Modèle:Math, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de Modèle:Math sont 0 et 1.

Un polynôme non nul à coefficients dans un certain corps peut n'avoir de racines que dans un corps « plus gros », et n'en a jamais plus que son degré. Par exemple Modèle:Math, qui est de degré 2 et à coefficients rationnels, n'a aucune racine rationnelle mais a deux racines dans ℝ (donc aussi dans ℂ). Le théorème de d'Alembert-Gauss indique que tout polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines complexes (non nécessairement distinctes).

La notion de « racine » se généralise, sous le nom de « zéro », à un polynôme en plusieurs indéterminées.

Définitions

On considère un polynôme P(X) à une indéterminée notée ici X, à coefficients dans un corps ou plus généralement un anneau commutatif A (les coefficients pouvant donc appartenir à un sous-anneau).

Définition

Ainsi, le polynôme XModèle:2 – 2, à coefficients dans ℚ (donc aussi dans ℝ ou ℂ), ne possède aucune racine dans ℚ mais en possède deux dans ℝ (Modèle:Sqrt et –Modèle:Sqrt) donc aussi dans ℂ. En effet, si l'on substitue Modèle:Sqrt ou –Modèle:Sqrt à X dans le polynôme, on trouve bien 0.

Étymologie : Le terme de racine provient des traductions en latin de Robert de Chester et de Gérard de Crémone du terme gizr. Le mot gizr signifie « racine », il est traduit en latin par radix. Le terme gizr est utilisé par le mathématicien d'origine perse du Modèle:VIIIe siècle Al-Khawarizmi, dans son traité Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, qui traite pour la première fois de manière exhaustive, du calcul des racines réelles de l'équation du second degré.

Définition alternative

Modèle:Théorème En effet, si P(X) = (X – α)Q(X) alors P(α) = 0 et réciproquement, si P(α) = 0 alors P(X) est égal à P(X) – P(α), combinaison linéaire de polynômes de la forme XModèle:Exp – αModèle:Exp, tous divisibles par X – α.

Dans l'exemple choisi, l'égalité :

$X^2-2=(X-\sqrt{2})(X-(-\sqrt{2}))$

est une autre manière de remarquer que Modèle:Sqrt et –Modèle:Sqrt sont bien les deux racines du polynôme.

Définitions connexes

Le simple fait que le polynôme X – α soit unitaire permet — sans supposer A intègre — de définir les notions suivantes : Modèle:Théorème

Le polynôme XModèle:2 – 2 est séparable, c'est-à-dire qu'il n'a aucune racine multiple. Il est de plus scindé sur ℝ, au sens suivant :

P est alors non nul, et son coefficient dominant est le produit des coefficients dominants de ces polynômes du premier degré. Plus généralement, on dit qu'un polynôme non nul de L[X] est scindé sur L s'il est le produit d'une constante et d'un produit (éventuellement vide) de polynômes unitaires du premier degré. Une telle décomposition est alors unique : chaque terme constant de l'un de ces polynômes unitaires du premier degré est égal à l'opposé d'une racine de P dans L, et si cette racine est d'ordre m, ce facteur est répété m fois. Le nombre de ces facteurs est donc égal au degré de P.

Existence des racines

Modèle:ÉnoncéC'est une application du théorème des valeurs intermédiaires.

Modèle:Article détaillé Soient K un corps commutatif et P un polynôme à une indéterminée et à coefficients dans K.

Une extension de K est un corps contenant K ; ainsi, ℝ et ℂ sont des extensions de ℚ.

Une question naturelle se pose, si LModèle:Ind et LModèle:Ind sont deux extensions de K sur lesquelles P est scindé, les racines, vues comme éléments de LModèle:Ind, sont-elles « équivalentes » aux racines vues comme éléments de LModèle:Ind ? Cette équivalence existe : il existe dans LModèle:Ind une « plus petite » sous-extension, appelée corps de décomposition de P, contenant toutes les racines de P, et de même dans LModèle:Ind, et ces deux sous-extensions de K sont identiques. Dans l'exemple K = ℚ, P = XModèle:2 – 2, ce corps de décomposition est l'ensemble des nombres de la forme a + bModèle:Sqrt, où a et b sont des nombres rationnels. Cet ensemble s'identifie (par un isomorphisme non unique) à un unique sous-corps de ℝ et du corps Modèle:Surligner des nombres algébriques. Ainsi, la paire de racines {Modèle:Sqrt, –Modèle:Sqrt} incluse dans ℝ peut être considérée comme identique à celle incluse dans Modèle:Surligner.

Le corps L est tel que le polynôme P est scindé ; en revanche, un autre polynôme à coefficients dans K n'est pas nécessairement scindé sur L. A fortiori, un polynôme à coefficients dans L n'est pas non plus nécessairement scindé sur L. On dit qu'un corps L est algébriquement clos si tout polynôme à coefficients dans L est scindé sur L.

Le corps ℂ est algébriquement clos, résultat connu sous le nom de théorème de d'Alembert-Gauss. La clôture algébrique de ℝ est ℂ. Celle de ℚ est le sous-corps Modèle:Surligner.

Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine

En particulier :

• une racine de P est multiple si et seulement si elle est aussi racine de PModèle:' ;
• si A est un corps de caractéristique 0 alors, pour que α soit une racine d'ordre r de P, il faut et il suffit que P(α), PModèle:'(α), PModèle:'Modèle:'(α), …, PModèle:Exp(α) soient nuls et PModèle:Exp(α) soit non nul.

Sur un corps de caractéristique p > 0, ce dernier critère n'est pas valide car le polynôme dérivé de XModèle:Exp est nul.

Calcul des racines

On peut utiliser la méthode de Muller pour calculer les racines d'un polynôme. On interpole le polynôme P par un polynôme de degré deux : $a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$ selon l'interpolation lagrangienne. On retrouve les coefficients en évaluant P en trois points ($x_0,x_1,x_2$) :

• $a_2=\frac{P[x_0,x_1]-P[x_1,x_2]}{x_0-x_2}=P[x_0,x_1,x_2]$
• $b_2=P[x_1,x_2]-a_2\times (x_1+x_2)$
• $c_2=P(x_2)-a_2\times x_2^2-b_2\times x_2$

avec : $f[u,v]=\frac{f(u)-f(v)}{u-v}.$

Mais en utilisant ce polynôme d’approximation, le choix de la racine de ce polynôme est problématique. Müller eut alors l’idée d’utiliser le même polynôme, mais sous la forme : $a_n(x-x_n{)}^2+b_n(x-x_n)+c_n$ avec $x_n$ qui va tendre vers la racine. Particularité de cet algorithme : $x_n$ peut être un nombre complexe. Coefficients :

• $a_n=P[x_{n-2},x_{n-1},x_n]$
• $b_n=P[x_{n-1},x_n]-a_n\times (x_{n-1}-x_n)$
• $c_n=P(x_n)$

Cette méthode est autoconvergente : le calcul de la racine va s'affiner petit à petit. On peut donc commencer avec $x_0=-1$, $x_1=0$ et $x_2=1$ et $n=2$. Tant que le polynôme ne s'annule pas en $x_n$, on passe à l'itération $n+1$ suivante avec :

• $r=\sqrt{b_n^2-4a_n{c}_n}$, où $b_n^2-4a_n{c}_n$ peut être négatif ou complexe.
  • $d=\frac{-2c_n}{b_n-r}$ si $|b_n+r|<|b_n-r|$
  • $d=\frac{-2c_n}{b_n+r}$ sinon
• $x_{n+1}=x_n+d.$

Finalement, le zéro est $x_n.$

Voir aussi

Lien externe

Racines entières d'un polynôme à coefficients entiers sur gecif.net