Lemme de Krasner

En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.

Énoncé

Soit $K$ un corps valué complet non archimédien et soit $\overline{K}$ une clôture algébrique séparable de $K$. Étant donné un élément $\alpha$ dans $\overline{K}$, notons ${\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$ ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivanteModèle:SfnpModèle:,Modèle:SfnpModèle:,Modèle:Sfnp. Modèle:Théorème

Applications

• Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutentModèle:Sfnp. En d'autres termes, étant donné un idéal premier $𝔭$ d'un corps global $L$, la clôture séparable de la complétion $𝔭$-adique de $L$ est égale à la complétion $\overline{𝔭}$-adique de la clôture séparable de $L$, où $\overline{𝔭}$ est un idéal premier de $\overline{L}$ au-dessus de (qui contient) $𝔭$.
• Une autre application consiste à prouver que ${𝐂}_p$, la complétion de la clôture algébrique de ${𝐐}_p$, est algébriquement closModèle:SfnpModèle:,Modèle:Sfnp.

Généralisation

Le lemme de Krasner admet la généralisation suivanteModèle:Sfn. Considérons un polynôme unitaire

$f^{*}=\prod _{k=1}^n(X-{\alpha }_k^{*})$

de degré $n>1$ à coefficients dans un corps hensélien $(K,v)$ et ayant ses racines dans la clôture algébrique $\overline{K}$. Soient I et $J$ deux ensembles disjoints non vides dont l'union est $\{1,\dots ,n\}$. Considérons de plus un polynôme

$g=\prod _{i\in I}(X-{\alpha }_i)$

à coefficients et racines dans $\overline{K}$ et supposons que . Supposons que

$v({\alpha }_i-{\alpha }_i^{*})>v({\alpha }_i^{*}-{\alpha }_j^{*})$ pour tout $i\in I$ et tout $j\in J$.

Alors les coefficients des polynômes

$g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-{\alpha }_i^{*})$ et $h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-{\alpha }_j^{*})$

sont contenus dans l'extension de $K$ engendré par $g$. (Le lemme de Krasner original correspond au cas où $g$ est de degré 1.)

Références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage.