Voir la source de 22 / 7 dépasse π

Les [[démonstration (logique et mathématique)|démonstrations]] du célèbre résultat mathématique selon lequel le [[nombre rationnel]] 22/7 est supérieur à [[pi|{{math|π}}]] remontent à l'[[Antiquité]]. Stephen Lucas qualifie cette proposition de {{Citation|l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de {{math|π}}<ref>{{Article|langue=en|nom=Lucas|prénom=Stephen K.|titre=Integral proofs that 355/113 > {{math|π}}|revue=Australian Mathematical Society Gazette|vol=32|numéro=4|p.=263-266|année=2005|url=http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf}}.</ref>}}. {{Lien|lang=de|Julian Havil}} met fin à une discussion sur les fractions approchant {{math|π}} avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{lien|langue=de|Julian Havil}}|titre=Gamma|sous-titre=Exploring Euler's Constant|lieu=Princeton|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2003|pages totales=266|passage=96|isbn=978-0-691-09983-5|lccn=2002192453}}.</ref>.

Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22/7 est en effet plus grand que {{math|π}} ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de {{math|π}} existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que {{nobr|22/7 > {{math|π}}}}, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des [[approximation diophantienne|approximations diophantiennes]].

== Motivation ==

Une [[approximation diophantienne]] simple et courante de la valeur de {{math|π}} est {{sfrac|22|7}}. En effet, on peut voir que :
:<math>\begin{align}
  \frac{22}{7} & = 3{,}\overline{142\,857}, \\
  \pi\,        & = 3{,}141 \,592\,65\ldots
  \end{align}</math>

[[Archimède]] avait démontré que {{sfrac|22|7}} surestimait {{math|π}} au cours de {{-s-|III}} mais utilisait cette approximation<ref>{{ouvrage| langue=en|auteur1=Archimède | auteur2=[[Thomas Heath]]|directeur2=oui | année première édition=1897 | date=2002 | titre=The Works of Archimedes | éditeur=Dover Publications | passage=93-96 | chapter=Measurement of a circle | isbn=0-486-42084-1 | url=https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp/page/92/mode/2up}}.</ref>.

Une meilleure approximation rationnelle de {{math|π}} est donnée par {{sfrac|355|113}} (approximation appelée {{lien|Milü}}).

== Démonstration ==
Une démonstration moderne de cette inégalité peut se faire par le calcul de l'intégrale
:<math>0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx=\frac{22}7-\pi.</math>

Le nombre <math>\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx</math> est strictement positif car la fonction <math>x\mapsto\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}</math> est [[continue]] et strictement positive sur l'intervalle {{math|]0 ; 1[}}.

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :
:{|
|-
|<math>\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx</math>
|<math>=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}~\mathrm dx</math>
|''(développement du numérateur)''
|-
|
|<math>=\int_0^1\left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac4{1+x^2}\right)\mathrm dx</math>
|''(par [[décomposition en éléments simples]] de l'intégrande)''
|-
|
|<math>=\left[\frac{x^7}7-\frac{2x^6}3+ x^5-\frac{4x^3}3+4x-4\arctan x\,\right]_0^1</math>
|''([[intégration (mathématiques)|intégration définie]])''
|-
|
|<math>=\frac17-\frac23+1-\frac43+4-\pi\ =\frac{22}7-\pi.</math>
|''(addition)''
|}

Dalzell<ref>{{Article|langue=en|nom=Dalzell|prénom=D. P.|année=1944|titre=On 22/7|revue=[[Journal of the London Mathematical Society]]|vol=19|p.=133-134|doi=10.1112/jlms/19.75_Part_3.133}}.</ref> donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi 
:<math>\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}2~\mathrm dx < \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx < \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}1~\mathrm dx</math>
ce qui donne après calcul
:<math>\frac1{1\;260}<\frac{22}7-\pi<\frac1{630}.</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Proof that 22/7 exceeds π|241016290|type=note}}
{{Références}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse (mathématiques)]]
[[Catégorie:Théorie des nombres]]
[[Catégorie:Pi]]