22 / 7 dépasse π

Les démonstrations du célèbre résultat mathématique selon lequel le nombre rationnel 22/7 est supérieur à [[pi|Modèle:Math]] remontent à l'Antiquité. Stephen Lucas qualifie cette proposition de Modèle:Citation. Modèle:Lien met fin à une discussion sur les fractions approchant Modèle:Math avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte.

Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22/7 est en effet plus grand que Modèle:Math ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de Modèle:Math existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que Modèle:Nobr, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des approximations diophantiennes.

Motivation

Une approximation diophantienne simple et courante de la valeur de Modèle:Math est Modèle:Sfrac. En effet, on peut voir que :

$\begin{array}{cc}\frac{22}{7}& =3,\overline{142857},\\ \pi & =3,14159265\dots \end{array}$

Archimède avait démontré que Modèle:Sfrac surestimait Modèle:Math au cours de Modèle:-s- mais utilisait cette approximation.

Une meilleure approximation rationnelle de Modèle:Math est donnée par Modèle:Sfrac (approximation appelée Modèle:Lien).

Démonstration

Une démonstration moderne de cette inégalité peut se faire par le calcul de l'intégrale

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{22}{7}-\pi .$

Le nombre $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x$ est strictement positif car la fonction $x\mapsto \frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}$ est continue et strictement positive sur l'intervalle Modèle:Math.

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x$	$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\mathrm{d}x$	(développement du numérateur)
	$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2})\mathrm{d}x$	(par décomposition en éléments simples de l'intégrande)
	$={[\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan x]}_0^1$	(intégration définie)
	$=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi =\frac{22}{7}-\pi .$	(addition)

Dalzell donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{2}\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1}\mathrm{d}x$

ce qui donne après calcul

$\frac{1}{1260}<\frac{22}{7}-\pi <\frac{1}{630}.$