Voir la source de Action d'Einstein-Hilbert

{{Ébauche|relativité|mathématiques}}
L''''action d'Einstein-Hilbert''', ainsi désignée en l'honneur d'[[Albert Einstein]] et [[David Hilbert]], est un objet mathématique [[analyse dimensionnelle|homogène]] à une [[action (physique)|action]]. Elle décrit la [[Dynamique (mécanique)|dynamique]] du [[champ gravitationnel]]{{sfn|Basdevant|2022|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.1}}|p=144}}{{,}}{{sfn|Ferrari|Gualtieri|Pani|2020|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.2}}|p=122}}. Elle est utilisée, en [[relativité générale]], pour ''dériver'' le [[tenseur d'Einstein]]{{sfn|Romero|Vila|2013|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.6}}|p=15}} et l'[[équation d'Einstein]] dans le [[Vide (physique)|vide]]{{sfn|Ferrari|Gualtieri|Pani|2020|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.2}}|p=122}}{{,}}{{sfn|Romero|Vila|2013|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.6}}|p=15}}, ce au moyen d'un [[principe variationnel]]{{sfn|Basdevant|2022|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.1}}|p=144}} appelé [[principe de moindre action]].

== Expression ==
L'[[Intégration (mathématiques)|intégrale]]{{sfn|Das|DeBenedictis|2012|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.2}}|p=293}} d'action d'Einstein-Hilbert{{sfn|Basdevant|2022|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.1}}|p=144}}{{,}}{{sfn|Hobson|Efstathiou|Lasenby|2009|loc={{chap.|19}}, {{sec.|19.2}}|p=528}}{{,}}{{sfn|Rovelli|2022|loc={{chap.|5}}|p=91}}{{,}}{{note|groupe=N|{{citation|action de Einstein-Hilbert}}{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{chap.|6}}, {{sec.|6.2}}|p=105}} ; {{citation|action d'Hilbert-Einstein}}{{sfn|Gourgoulhon|2014|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.5}}, {{§|4.5.1}}|p=115}} ; {{citation|action de Hilbert-Einstein}}{{sfn|Connes|1997|loc={{§|5}}|p=343}}.}} est souvent notée <math>S_{\mathrm{EH}}</math>{{sfn|Basdevant|2022|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.1}}|p=144}}{{,}}{{sfn|Hobson|Efstathiou|Lasenby|2009|loc={{chap.|19}}, {{sec.|19.2}}|p=528}}{{,}}{{note|groupe=N|texte=<math>S</math> est la notation usuelle de l'action{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} action (sens 2)|p=11, {{col.|1}}}}. Les notations <math>A_{\mathrm{EH}}</math>{{sfn|Padmanabhan|2010|loc={{chap.|15}}, {{sec.|15.4}}|p=654}} et <math>I_{\mathrm{EH}}</math>{{sfn|Walz|2016|loc={{s.v.}} Einstein-Hilbert-Wirkung|p=20, {{col.|1}}}} sont attestées, <math>A</math> et <math>I</math>{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} action (sens 2)|p=11, {{col.|1}}}} étant deux notations de l'action.}}.

Elle est donnée par{{sfn|Bambi|2018|loc={{chap.|7}}, {{§|7.3}}, (7.24) et (7.25)|p=128}}{{,}}{{sfn|Maggiore|2018|loc={{chap.|13}}, {{§|13.2}}, (13.10)|p=192}} :
{{Bloc emphase|<math>\begin{align}S_{\mathrm{EH}}&=\frac{c^3}{16\pi G}\int\mathrm{d}^4x\sqrt{-g}\;R\\&=\frac{1}{2\kappa c}\int\mathrm{d}^4x\sqrt{-g}\;R\end{align},</math>}}
où :
*<math>R</math> est la [[Courbure scalaire|courbure scalaire de Ricci]], définie comme la [[Contraction tensorielle|trace]] du [[tenseur de Ricci]] <math>R_{\mu\nu}</math> : <math>R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}={R^{\mu}}_{\mu}</math>{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} courbure de Ricci|p=[173], {{col.|2}}}} ;
*<math>\mathrm{d}^4x\sqrt{-g}</math> est l'élément de volume invariant{{sfn|Rovelli|2022|loc={{chap.|5}}|p=93}} :
**<math>g</math> est le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]]{{sfn|Rovelli|2022|loc={{chap.|5}}|p=93}} du [[tenseur métrique]] : <math>g=\det(g_{\mu\nu})</math> ;
**<math>\mathrm{d}^4x</math> est l'élément de volume en coordonnées{{sfn|Rovelli|2022|loc={{chap.|5}}|p=93}} : <math>\mathrm{d}^4x=\mathrm{d}x^0\wedge\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3</math>{{sfn|Poisson|Will|2014|p=230}} ;
*<math>c</math> est la [[vitesse de la lumière]] dans le [[Vide (physique)|vide]] ;
*<math>G</math> est la [[Constante gravitationnelle|constante de Newton pour la gravitation]] ;
*<math>\pi</math> est le nombre [[pi]] ;
*<math>\kappa</math> est la [[Constante d'Einstein|constante d'Einstein pour la gravitation]] : <math>\kappa=8\pi Gc^{-4}</math>{{sfn|Bambi|2018|loc={{chap.|7}}, {{§|7.2}} (7.19)|p=127}}.

Avec <math>c=\hbar=1</math>, l'action d'Einstein-Hilbert s'écrit{{sfn|Tong|2019|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{§|4.1.1}}|p=145}} :
:<math>S_\mathrm{EH}=\frac{1}{2}m^2_\mathrm{P}\int\mathrm{d}^4x\sqrt{-g}\;R</math>,
où :
:<math>m_\mathrm{P}</math> est la [[Masse de Planck#Masse de Planck réduite|masse de Planck réduite]]{{sfn|Tong|2019|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{§|4.1.1}}|p=145}}, définie par{{sfn|Tong|2019|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{§|4.1.1}}|p=145}} <math>m^2_\mathrm{P}=\frac{\hbar c}{8\pi G}</math>.

=== Dimension ===
L'action d'Einstein-Hilbert est, par définition, [[Homogénéité (physique)|homogène]] à une [[Action (physique)|action]] : <math>\dim(S)=\mathsf{ML}^2\mathsf{T}^{-1}</math>{{sfn|Hübsch|2015|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.2}}, {{§|9.2.2}}|p=327}}{{,}}{{sfn|Tong|2019|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{§|4.1.1}}|p=144}}.

L'[[Analyse dimensionnelle#Équation aux dimensions|équation aux dimensions]] est obtenue en considérant que le tenseur métrique <math>g_{\mu\nu}</math> est une [[grandeur sans dimension]] : <math>\dim(g_{\mu\nu})=1</math>{{sfn|Harko|Lobo|2018|loc={{nobr|part. {{I}}}}, {{chap.|3}}, {{nobr|sect. 3.1}}, indrod.|p=39}}{{,}}{{sfn|Hübsch|2015|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.2}}, {{§|9.2.2}}|p=327}}. Il en résulte que la dimension du tenseur de Ricci <math>R_{\mu\nu}</math> est celle de l'inverse du carré d'une longueur : <math>\dim(R_{\mu\nu})=\mathsf{L}^{-2}</math>{{sfn|Harko|Lobo|2018|loc={{nobr|part. {{I}}}}, {{chap.|3}}, {{nobr|sect. 3.1}}, indrod.|p=39}}. Il en résulte que la courbure de Ricci <math>R</math> a la même dimension <math>\dim(R)=\mathsf{L}^{-2}</math>{{sfn|Harko|Lobo|2018|loc={{nobr|part. {{I}}}}, {{chap.|3}}, {{nobr|sect. 3.1}}, indrod.|p=39}}. D'autre part, la dimension de <math>\mathrm{d}^4x</math> est celle d'un volume à quatre dimensions : <math>\dim(\mathrm{d}^4x)=\mathsf{L}^4</math>{{sfn|Hübsch|2015|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.2}}, {{§|9.2.2}}|p=327}}. 

;Remarque : Certains manuels définissent l'action d'Einstein-Hilbert avec un facteur <math>c^4</math> au lieu d'un facteur <math>c^3</math>{{sfn|Ferrari|Gualtieri|Pani|2020|loc={{chap.|7}}, {{nobr|sect. 7.4}}, introd., {{n.|3}}|p=129}}. Avec ce choix, la quantité obtenue n'a pas la dimension d'une action{{sfn|Ferrari|Gualtieri|Pani|2020|loc={{chap.|7}}, {{nobr|sect. 7.4}}, introd., {{n.|3}}|p=129}}.

==Dérivation des équations d'Einstein==
Supposons que notre théorie ne contienne que l'action d'Einstein-Hilbert ainsi qu'un terme <math>\mathcal{L}_\mathrm{M}</math> décrivant n'importe quel champ de matière. L'action totale est donc :

<math> S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x </math>.

La variation de l'action par rapport à l'inverse de la métrique doit être nulle pour les solutions, donnant l'équation :

:<math>\begin{align}
0 &= \delta S \\
  &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
 \right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
  &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } 
 \right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}</math>.

Puisque cette équation tient pour toute variation <math>\delta g^{\mu\nu}</math>, cela implique que

<math>\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} </math>

est l'équation du mouvement pour la métrique. Le membre de droite de l'équation est (par définition) proportionnel au [[tenseur énergie-impulsion]],

<math> T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} </math>.


pour calculer le membre de gauche de l'équation, nous avons besoin des variations du scalaire de Ricci <math>R</math> et du déterminant de la métrique. Elles peuvent être calculées de façon élémentaire comme donné ci-dessous, méthode qui est principalement inspirée de {{Harvnb|Carroll|2004}}.

===Variation du tenseur de Riemann, du tenseur de Ricci et du scalaire de Ricci===
Pour calculer la variation de la [[courbure scalaire|courbure de Ricci]], on commence par calculer la variation du [[tenseur de Riemann]], puis du [[tenseur de Ricci]]. Rappelons que le tenseur de Riemann est localement défini par

:<math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}- \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math>.

Puisque le tenseur de Riemann ne dépend que des [[symboles de Christoffel]] <math>\Gamma^\lambda_{\mu\nu}</math>, sa variation peut être calculée comme

:<math>\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} -\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math>.

Maintenant, puisque <math>\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma}</math> est la différence de deux connexions, il s'agit d'un tenseur, dont on peut calculer la [[dérivée covariante]], 

:<math>\nabla_\mu \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right ) = \partial_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} -\Gamma^\lambda_{\mu\nu} \delta \Gamma^\rho_{\lambda\sigma} - \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} \delta \Gamma^\rho_{\nu\lambda}</math>.

Nous pouvons alors observer que la variation du tenseur de Riemann ci-dessus est exactement égale à la différence de deux tels termes, 

:<math>\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu \left( \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) -\nabla_\nu \left( \delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} \right)</math>.

On peut désormais obtenir la variation du tenseur de Ricci simplement en contractant deux indices dans l'expression de la variation du tenseur de Riemann, et nous obtenons alors l'[[identité de Palatini]]:

:<math>\delta R_{\sigma\nu} \equiv \delta {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = \nabla_\rho \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) - \nabla_\nu \left( \delta \Gamma^\rho_{\rho\sigma} \right)</math>.

La courbure de Ricci est alors définie comme

:<math>R = g^{\sigma\nu} R_{\sigma\nu}</math>.

Par conséquent, sa variation par rapport à l'inverse de la métrique <math>g^{\sigma\nu}</math> est donnée par

:<math>\begin{align}
\delta R &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + g^{\sigma\nu} \delta R_{\sigma\nu}\\
         &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho} \delta \Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right)
\end{align}</math>

Dans la seconde ligne, nous avons utilisé la compatibilité de la métrique avec la [[connexion (mathématiques)|connexion]] <math>\nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0</math>, et le résultat obtenu précédemment sur la variation du tenseur de Ricci.

Le dernier terme, 
:<math>\nabla_\rho \left ( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho}\delta\Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right )</math>, i.e. <math>\nabla_\rho A^{\rho} \equiv A^{\lambda}{}_{;\lambda}</math> with <math>A^{\rho}=g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho}\delta\Gamma^\mu_{\mu\sigma}</math>,

multiplié par <math>\sqrt{-g}</math>, devient une [dérivée totale], puisque pour tout vecteur <math>A^{\lambda}</math> et toute densité de tenseur <math>\sqrt{-g}\,A^{\lambda}</math> nous avons:

:<math>\sqrt{-g} \, A^\lambda_{;\lambda} = (\sqrt{-g} \, A^{\lambda})_{;\lambda} = (\sqrt{-g} \, A^\lambda)_{,\lambda}</math> or <math>\sqrt{-g} \, \nabla_\mu A^\mu = \nabla_\mu\left(\sqrt{-g} \, A^\mu\right) = \partial_\mu\left(\sqrt{-g} \, A^\mu\right)</math>

et ainsi par le [[théorème de Stokes]] il ne reste d'un terme de bord après intégration. Le terme ne bord n'est en général pas nul, puisque l'intégrande ne dépend pas seulement de <math>\delta g^{\mu\nu},</math> mais aussi de ses dérivées partielles <math>\partial_\lambda \, \delta g^{\mu\nu} \equiv \delta\, \partial_\lambda g^{\mu\nu}</math>; voir l'article [[termes de bord de Gibbons–Hawking–York]] pour plus de détails. Néanmoins, lorsque la variation de la métrique <math>\delta g^{\mu\nu}</math> varie dans le voisinage du bord ou lorsqu'il n'y a pas de bords, ce terme ne contribue pas à la variation de l'action. Ainsi, nous obtenons :
:<math>\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}</math>,
en dehors des bords.

===Variation du déterminant===
On rappelle la différentielle du [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]]

:<math>\delta g = \delta \det(g_{\mu\nu}) = g g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}</math>,

que l'on peut calculer par exemple via la formule explicite du déterminant et d'un développement limité <ref>{{ouvrage| lire en ligne=https://agreg-maths.fr/uploads/versions/776/Différentielle%20du%20déterminant.pdf | titre=Différentielle du déterminant}}</ref>

. Grâce à ce résultat, nous obtenons

:<math>\delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g = \frac{1}{2} \sqrt{-g} \left( g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} \right) = -\frac{1}{2} \sqrt{-g} \left( g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} \right)</math>

Dans la dernière égalité, nous avons utilisé le fait que

:<math>g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}</math>

qui suit de la différentielle de l'inverse d'une matrice

:<math>\delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\alpha} \left( \delta g_{\alpha\beta} \right) g^{\beta\nu}</math>.

Ainsi, nous concluons que

<math>\frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu}</math>.

===Équation du mouvement===
Maintenant, nous avons toutes les variations nécessaire pour obtenir l'équation du mouvement. On insère les équations calculées dans l'équation du mouvement pour la métrique pour obtenir 

<math>R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}</math>,

qui est l'[[équation d'Einstein]], et

:<math>\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}</math>

a été choisi de sorte à obtenir la limite non-relativiste souhaitée: la [[loi universelle de la gravitation]] de Newton, où <math>G</math> est la [[constante gravitationnelle]].

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Légende plume}}

=== Bibliographie ===
* Carroll, Sean M. (Dec, 1997). ''Lecture Notes on General Relativity'', NSF-ITP-97-147, 231pp, [[arXiv:gr-qc/9712019]]
* {{Article | langue=fr | prénom=Alain | nom=Connes | lien auteur=Alain Connes | titre=Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral | périodique=Astérisque | numéro=241 | date=1997 | pages=exposé {{numéro|816}}, {{p.|313-349}} | oclc=203173298 | math reviews=1472544 | zbl=0942.46044 | lire en ligne=http://www.numdam.org/item/SB_1995-1996__38__313_0.pdf | accès url=libre | format=pdf | libellé=Connes 1997}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Anadijiban | nom1=Das | prénom2=Andrew | nom2=DeBenedictis | titre=The general theory of relativity | sous-titre=a mathematical exposition | lieu=New York | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]], hors {{coll.}} | date=6/2012 | réimpression={{date-|7/2014}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXVI}}-678 | format livre={{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn10=1-461-43657-5 | isbn1=978-1-4614-3657-7 | isbn2=978-1-4899-8717-4 | ean=9781461436577 | oclc=819196172 | doi=10.1007/978-1-4614-3658-4 | sudoc=164718486 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-3658-4 | lire en ligne={{Google Livres|id=wJR7SmPedWcC}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Das et DeBenedictis 2012 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Tiberiu | nom1=Harko | prénom2=Francisco S. N. | nom2=Lobo | titre=Extensions of {{formule|§=''f'' (''R'')}} gravity | sous-titre=curvature-matter couplings and hybrid metric-Palatini theory | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] | collection=Cambridge monographs on mathematical physics | date=11/2018 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVII}}-456 | format livre={{unité|24,5|cm}} | isbn10=1-108-42874-6 | isbn=978-1-108-42874-3 | ean=9781108428743 | oclc=1042212796 | doi=doi.org/10.1017/9781108645683 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/academic/subjects/physics/cosmology-relativity-and-gravitation/extensions-fr-gravity-curvature-matter-couplings-and-hybrid-metric-palatini-theory | lire en ligne={{Google Livres|id=DpB2DwAAQBAJ}} | consulté le=28 novembre 2021 | libellé=Harko et Lobo 2018}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Tristan | nom=Hübsch | titre=Advanced concepts in particle and field theory | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]], hors {{coll.}} | date=6/2015 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XV}}-563 | format livre={{unité|25,3|cm}} | isbn10=1-107-09748-7 | isbn=978-1-107-09748-3 | ean=9781107097483 | oclc=935796660 | doi=10.1017/CBO9781316160725 | bibcode=2015acpf.book.....H | sudoc=200553526 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/academic/subjects/physics/particle-physics-and-nuclear-physics/advanced-concepts-particle-and-field-theory | lire en ligne={{Google Livres|id=Lq2mCQAAQBAJ}} | consulté le=28 novembre 2021 | libellé=Hübsch 2015}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Michele | nom=Maggiore | titre=Gravitational waves | tome=2 | titre tome=Astrophysics and cosmology | lieu=Oxford | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]], hors {{coll.}} | année=3/2018 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-820 | format livre={{unité|24,6|cm}} | isbn10=0-19-857089-9 | isbn=978-0-19-857089-9 | ean=9780198570899 | oclc=1030746535 | bnf=45338294z | doi=10.1093/oso/9780198570899.001.0001 | sudoc=225716968 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/gravitational-waves-9780198570899 | lire en ligne={{Google Livres|id=FGdRDwAAQBAJ}} | consulté le=21 novembre 2021 | libellé=Maggiore 2018}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Thanu | nom=Padmanabhan | titre=Gravitation | sous-titre=foundations and frontiers | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]], hors {{coll.}} | date=1/2010 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXVIII}}-700 | format livre={{dunité|17,9|25,4|cm}} | isbn10=0-521-88223-0 | isbn=978-0-521-88223-1 | ean=9780521882231 | oclc=672212945 | bnf=42511898t | doi=10.1017/CBO9780511807787 | bibcode=2010grav.book.....P | sudoc=143152386 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/academic/subjects/physics/astrophysics/gravitation-foundations-and-frontiers | lire en ligne={{Google Livres|id=BSfe2MjbQ3gC}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Padmanabhan 2010 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | langue originale=en | prénom=Carlo | nom=Rovelli | lien auteur=Carlo Rovelli | traduction=[[Marc Lachièze-Rey]] | titre=Relativité générale | sous-titre=l'essentiel : idées, cadre conceptuel, trous noirs, ondes gravitationnelles, cosmologie et éléments de gravité quantique | titre original=General relativity : the essentials | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Quai des sciences | date=9/2022 | numéro d'édition=1 | pages totales=201 | format livre={{dunité|14|21,5|cm}} | isbn10=2-10-084203-X | isbn=978-2-10-084203-2 | ean=9782100842032 | oclc=1346096071 | bnf=47119408v | sudoc=264438132 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-essentiel-idees-cadre-conceptuel-trous-noirs-ondes | lire en ligne={{Google Livres|id=lEuJEAAAQBAJ}} | consulté le=13 mai 2022 | libellé=Rovelli 2022 | plume=oui}}

==== Manuels d'enseignement supérieur ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Aurélien | nom1=Barrau | lien auteur1=Aurélien Barrau | prénom2=Julien | nom2=Grain | titre=Relativité générale | sous-titre=cours et exercices corrigés | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | série=physique | date=8/2016 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|8/2011}} | pages totales={{VIII}}-231 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-074737-1 | isbn=978-2-10-074737-5 | ean=9782100747375 | oclc=958388884 | bnf=45101424p | sudoc=195038134 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=3erZDAAAQBAJ}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Barrau et Grain 2016 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Jean-Louis | nom=Basdevant | lien auteur=Jean-Louis Basdevant | titre=Principes variationnels de la physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]] | collection=LMD | série=physique | date=4/2022 | numéro d'édition=4 | pages totales=206 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-3981-6 | isbn=978-2-8073-3981-1 | ean=9782807339811 | oclc=1314120244 | bnf=470144132 | sudoc=262224887 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807339811-principes-variationnels-de-la-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=ugtqEAAAQBAJ}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Basdevant 2022 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Valeria | nom1=Ferrari | prénom2=Leonardo | nom2=Gualtieri | prénom3=Paolo | nom3=Pani | titre=General relativity and its applications | sous-titre=black holes, compact stars and gravitational waves | lieu=Boca Raton | éditeur=[[CRC Press|CRC]], hors {{coll.}} | date=12/2020 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVIII}}-475 | format livre={{unité|25,4|cm}} | isbn10=1-138-58977-2 | isbn1=978-1-138-58977-3 | isbn2=978-0-367-62532-0 | ean=9781138589773 | oclc=1247682853 | doi=10.1201/9780429491405 | sudoc=255050844 | présentation en ligne=https://www.routledge.com/General-Relativity-and-its-Applications-Black-Holes-Compact-Stars-and/Ferrari-Gualtieri-Pani/p/book/9781138589773 | lire en ligne={{Google Livres|id=LP8MEAAAQBAJ}} | consulté le=21 novembre 2021 | libellé=Ferrari, Gualtieri et Pani 2020 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | langue originale=en-us | prénom1=Michael | nom1=Hobson P. | prénom2=George P. | nom2=Efstathiou | lien auteur2=George Efstathiou | prénom3=Anthony N. | nom3=Lasenby | traduction=Loïc Villain | champ libre=révision scientifique de Richard Taillet | titre=Relativité générale | titre original=General relativity : an introduction for physicists | lieu=Bruxelles | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]] | collection=Noire | date=12/2009 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XX}}-554 | format livre={{dunité|21,6|27,5|cm}} | isbn10=2-8041-0126-6 | isbn=978-2-8041-0126-8 | ean=9782804101268 | oclc=690272413 | bnf=421421742 | sudoc=140535705 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782804101268-relativite-generale | lire en ligne={{Google Livres|id=0EDTUmS9ShYC}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Jean-Pierre | nom1=Provost | prénom2=Bernard | nom2=Raffaelli | prénom3=Gérard | nom3=Vallée | titre=Mathématiques en physique | sous-titre=concepts et outils : cours et applications | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | série=mathématiques | date=1/2019 | pages totales={{XIV}}-366 | format livre={{dunité|17,5|25|cm}} | isbn10=2-10-079023-4 | isbn=978-2-10-079023-4 | ean=9782100790234 | oclc=1083672225 | bnf=456525979 | sudoc=233556478 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/mathematiques-en-physique-concepts-et-outils | lire en ligne={{Google Livres|id=m5yBDwAAQBAJ}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Provost, Raffaelli et Vallée 2019}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Eric | nom1=Poisson | prénom2=Clifford M. | nom2=Will | titre=Gravity | sous-titre=newtonian, post-newtonian, relativistic | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]], hors {{coll.}} | date=5/2014 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-780 | format livre={{dunité|19,3|25,3|cm}} | isbn10=1-10-703286-5 | isbn=978-1-10-703286-6 | ean=9781107032866 | oclc=881740360 | doi=10.1017/CBO9781139507486 | bibcode=2014grav.book.....P | s2cid=119067447 | sudoc=178990973 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/universitypress/subjects/physics/astrophysics/gravity-newtonian-post-newtonian-relativistic | lire en ligne={{Google Livres|id=PZ5cAwAAQBAJ}} | consulté le=30/8/2024 | libellé=Poisson et Will 2014}}.

==== Notes de cours d'enseignement supérieur ====
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Cosimo | nom=Bambi | titre=Introduction to general relativity | sous-titre=a course for undergraduate students of physics | lieu=Singapour | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Undergraduate lecture notes in physics | année=2018 | réimpression=2020 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVI}}-335 | format livre={{unité|24|cm}} | isbn10=981-13-1089-0 | isbn=978-981-13-1089-8 | ean=9789811310898 | oclc=1049559215 | doi=10.1007/978-981-13-1090-4 | sudoc=229495745 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-13-1090-4 | lire en ligne={{Google Livres|id=fnJgDwAAQBAJ}} | consulté le=21 novembre 2021 | libellé=Bambi 2018}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Gustavo E. | nom1=Romero | prénom2=Gabriela S. | nom2=Vila | titre=Introduction to black hole astrophysics | lieu=Berlin et Heidelberg | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Lecture notes in physics | numéro dans collection=876 | date=9/2013 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVIII}}-318 | format livre={{dunité|15,5|23,5|cm}} | isbn10=3-642-39595-3 | isbn=978-3-642-39595-6 | ean=9783642395956 | oclc=869343537 | doi=10.1007/978-3-642-39596-3 | bibcode=2014LNP...876.....R | sudoc=175903727 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-39596-3 | lire en ligne={{Google Livres|id=sCm6BQAAQBAJ}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Romero et Vila 2013}}.

==== Dictionnaires et encyclopédies ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|5/2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Guido | nom1=Walz | responsabilité1=éd. | titre=Lexikon der Mathematik | tome={{II}} | titre tome=Eig bis Inn | lieu=Berlin et Heidelberg | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer Spektrum]] | date=11/2016 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|5/2001}} | pages totales={{VII}}-495 | format livre={{dunité|16,6|24|cm}} | isbn10=3-827-41615-9 | isbn=978-3-662-53503-5 | ean=9783662535035 | oclc=313893770 | doi=10.1007/978-3-662-53504-2 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-53504-2 | lire en ligne={{Google Livres|id=rSagDQAAQBAJ}} | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Walz 2016 | plume=oui}}

=== Articles connexes  ===
* [[Principe de moindre action]]
* [[Relativité générale]]
* [[Courbure]]
* [[Constante cosmologique]]

=== Liens externes ===
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Éric | nom=Gourgoulhon | lien auteur=Éric Gourgoulhon | titre=Relativité générale | nature ouvrage=cours d'introduction à la relativité générale, donné en {{2e|année}} du master ''Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale'' de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France, année universitaire {{date-|2013}}-{{date-|2014}} | lieu=Meudon | éditeur=[[observatoire de Paris]] | date=3/2014 | pages totales=341 | hal=cel-00366315 | lire en ligne=https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf | accès url=libre | format électronique=pdf | consulté le=14 mai 20223 | libellé=Gourgoulhon 2014 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=David | nom=Tong | titre=General relativity | nature ouvrage=cours d'introduction à la relativité générale, de niveau master | lieu=Cambridge | éditeur=[[université de Cambridge]], département de mathématiques appliquées et de physique théorique | date=2019 | pages totales=282 | présentation en ligne=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr.html | lire en ligne=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr/gr.pdf | accès url=libre | format électronique=pdf | consulté le=14 mai 2023 | libellé=Tong 2021 | plume=oui}}

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Relativité générale]]
[[Catégorie:Albert Einstein]]