Voir la source de Adjonction ⊗-Hom

En [[mathématiques]], l''''adjonction ⊗-hom''' est le résultat affirmant que le [[Produit tensoriel de deux modules|produit tensoriel]] <math>- \otimes X</math> et le [[foncteur Hom]] <math>\operatorname{Hom}(X,-)</math> forment une [[Foncteur adjoint|adjonction]] :

: <math>\operatorname{Hom}(Y \otimes X, Z) \cong \operatorname{Hom}(Y,\operatorname{Hom}(X,Z)).</math>

L'ordre des termes dans l'expression « adjonction tenseur-hom » reflète leur relation : ⊗ est l'adjoint de gauche, tandis que Hom est l'adjoint de droite.

== Définition générale ==
Supposons que ''R'' et ''S'' soient des [[Anneau (mathématiques)|anneaux]] (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des [[Module sur un anneau|modules]] à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :

: <math>\mathcal{C} = \mathrm{Mod}_S\quad \text{et} \quad \mathcal{D} = \mathrm{Mod}_R . </math>

Soit <math>X</math> un <math>(R,S)</math>-bimodule et soient <math>F \colon \mathcal D \rightarrow \mathcal C</math> et <math>G \colon \mathcal C \rightarrow \mathcal D</math>  les foncteurs définis comme suit:

: <math>F(Y) = Y \otimes_R X \quad \text{pour } Y \in \mathcal{D}</math>
: <math>G(Z) = \operatorname{Hom}_S (X, Z) \quad \text{pour } Z \in \mathcal{C}</math>

Alors <math>F</math> est [[Foncteur adjoint|adjoint]] à gauche de <math>G</math>. Cela signifie qu'il existe un [[Transformation naturelle|isomorphisme naturel]]

: <math>\operatorname{Hom}_S (Y \otimes_R X, Z) \cong \operatorname{Hom}_R (Y, \operatorname{Hom}_S (X, Z)).</math>

Il s'agit en fait d'un isomorphisme de [[Groupe abélien|groupes abéliens]]. Plus précisément, si <math>Y</math> est un <math>(A,R)</math>-bimodule et <math>Z</math> est un <math>(B,S)</math>-bimodule, alors c'est un isomorphisme de <math>(B,A)</math>-bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée<ref name="MaySigurdsson">
{{Ouvrage|prénom1=J.P.|nom1=May|prénom2=J.|nom2=Sigurdsson|titre=Parametrized Homotopy Theory|passage=253|éditeur=A.M.S.|année=2006|isbn=0-8218-3922-5}}
</ref>.

== Counité et unité ==
Comme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les [[Transformation naturelle|transformations naturelles]] de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité

: <math>\varepsilon : FG \to 1_{\mathcal{C}}</math>

a pour morphisme la décrivant

: <math>\varepsilon_Z : \operatorname{Hom}_S (X, Z) \otimes_R X \to Z</math>

donné par évaluation : Pour

: <math>\phi \in \operatorname{Hom}_S (X, Z) \quad \text{et} \quad x \in X,</math>
: <math>\varepsilon(\phi \otimes x) = \phi(x).</math>

Les morphismes décrivant l'unité

: <math>\eta : 1_{\mathcal{D}} \to GF</math>
: <math>\eta_Y : Y \to \operatorname{Hom}_S (X, Y \otimes_R X)</math>

sont définis comme suit : Pour <math>y</math> appartenant à <math>Y</math> ,

: <math>\eta_Y(y) \in \operatorname{Hom}_S (X, Y \otimes_R X)</math>

est un homomorphisme de <math>S</math>-modules défini par

: <math>\eta_Y(y)(t) = y \otimes t \quad \text{pour } t \in X.</math>

Les [[Foncteur adjoint|équations de counité et d’unité]] peuvent désormais être explicitement vérifiées. Pour <math>Y</math> dans <math>\mathcal{D}</math> ,

: <math>
\varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) : 
Y \otimes_R X \to 
\operatorname{Hom}_S (X, Y \otimes_R X) \otimes_R X \to
Y \otimes_R X
</math>
: <math>\varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y)(y \otimes x) = \eta_Y(y)(x) = y \otimes x.</math>

De même,

: <math>G(\varepsilon_Z)\circ\eta_{GZ} :
\operatorname{Hom}_S (X, Z) \to 
\operatorname{Hom}_S (X, \operatorname{Hom}_S (X, Z) \otimes_R X) \to
\operatorname{Hom}_S (X, Z).
</math>

Pour <math>\phi</math> dans <math> \operatorname{Hom}_S (X, Z)</math> '',''

: <math>G(\varepsilon_Z)\circ\eta_{GZ}(\phi)(x) = \varepsilon_{Z}(\phi \otimes x) = \phi(x)</math>

: <math>G(\varepsilon_Z)\circ\eta_{GZ}(\phi) = \phi.</math>

et donc

<math>G(\varepsilon_Z)\circ\eta_{GZ}(\phi) = \phi.</math>

== Les foncteurs Ext et Tor ==
Le [[foncteur Hom]] <math>\hom(X,-)</math> commute avec des limites arbitraires, tandis que le produit tensoriel <math>-\otimes X</math> le foncteur commute avec des colimites arbitraires qui existent leurs catégorie de définition. Cependant, de manière générale, <math>\hom(X,-)</math> ne commute pas avec les colimites, et <math>-\otimes X</math> ne commute pas avec les limites ; cet échec se produit même avec des limites ou des colimites finies. Cette incapacité à préserver les [[Suite exacte|suites exactes courtes]] motive la définition du [[foncteur Ext]] et du [[foncteur Tor]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Tensor-hom adjunction|945802865}}
{{références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===

* [[Nicolas Bourbaki]], ''Éléments de mathématiques, Algèbre I'', Springer-Verlag 

=== Articles connexes ===
* [[Curryfication]]
* [[Foncteur Ext]]
* [[Foncteur Tor]]

{{Palette|Théorie des catégories}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des catégories]]
[[Catégorie:Algèbre commutative]]