Adjonction ⊗-Hom

En mathématiques, l'adjonction ⊗-hom est le résultat affirmant que le produit tensoriel $-\otimes X$ et le foncteur Hom $\mathrm{Hom}(X,-)$ forment une adjonction :

$\mathrm{Hom}(Y\otimes X,Z)\cong \mathrm{Hom}(Y,\mathrm{Hom}(X,Z)).$

L'ordre des termes dans l'expression « adjonction tenseur-hom » reflète leur relation : ⊗ est l'adjoint de gauche, tandis que Hom est l'adjoint de droite.

Définition générale

Supposons que R et S soient des anneaux (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des modules à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :

$𝒞={\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}_S\text{et}𝒟={\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}_R.$

Soit $X$ un $(R,S)$-bimodule et soient $F:𝒟\to 𝒞$ et $G:𝒞\to 𝒟$ les foncteurs définis comme suit:

$F(Y)=Y{\otimes }_{R}X\text{pour }Y\in 𝒟$

$G(Z)={\mathrm{Hom}}_S(X,Z)\text{pour }Z\in 𝒞$

Alors $F$ est adjoint à gauche de $G$. Cela signifie qu'il existe un isomorphisme naturel

${\mathrm{Hom}}_S(Y{\otimes }_{R}X,Z)\cong {\mathrm{Hom}}_R(Y,{\mathrm{Hom}}_S(X,Z)).$

Il s'agit en fait d'un isomorphisme de groupes abéliens. Plus précisément, si $Y$ est un $(A,R)$-bimodule et $Z$ est un $(B,S)$-bimodule, alors c'est un isomorphisme de $(B,A)$-bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée.

Counité et unité

Comme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les transformations naturelles de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité

$\epsilon :FG\to 1_{𝒞}$

a pour morphisme la décrivant

${\epsilon }_Z:{\mathrm{Hom}}_S(X,Z){\otimes }_{R}X\to Z$

donné par évaluation : Pour

$\varphi \in {\mathrm{Hom}}_S(X,Z)\text{et}x\in X,$

$\epsilon (\varphi \otimes x)=\varphi (x).$

Les morphismes décrivant l'unité

$\eta :1_{𝒟}\to GF$

${\eta }_Y:Y\to {\mathrm{Hom}}_S(X,Y{\otimes }_{R}X)$

sont définis comme suit : Pour $y$ appartenant à $Y$ ,

${\eta }_Y(y)\in {\mathrm{Hom}}_S(X,Y{\otimes }_{R}X)$

est un homomorphisme de $S$-modules défini par

${\eta }_Y(y)(t)=y\otimes t\text{pour }t\in X.$

Les équations de counité et d’unité peuvent désormais être explicitement vérifiées. Pour $Y$ dans $𝒟$ ,

${\epsilon }_{FY}\circ F({\eta }_Y):Y{\otimes }_{R}X\to {\mathrm{Hom}}_S(X,Y{\otimes }_{R}X){\otimes }_{R}X\to Y{\otimes }_{R}X$

${\epsilon }_{FY}\circ F({\eta }_Y)(y\otimes x)={\eta }_Y(y)(x)=y\otimes x.$

De même,

$G({\epsilon }_Z)\circ {\eta }_{GZ}:{\mathrm{Hom}}_S(X,Z)\to {\mathrm{Hom}}_S(X,{\mathrm{Hom}}_S(X,Z){\otimes }_{R}X)\to {\mathrm{Hom}}_S(X,Z).$

Pour $\varphi$ dans ${\mathrm{Hom}}_S(X,Z)$ ,

$G({\epsilon }_Z)\circ {\eta }_{GZ}(\varphi )(x)={\epsilon }_Z(\varphi \otimes x)=\varphi (x)$

$G({\epsilon }_Z)\circ {\eta }_{GZ}(\varphi )=\varphi .$

et donc

$G({\epsilon }_Z)\circ {\eta }_{GZ}(\varphi )=\varphi .$

Les foncteurs Ext et Tor

Le foncteur Hom $\mathrm{hom}(X,-)$ commute avec des limites arbitraires, tandis que le produit tensoriel $-\otimes X$ le foncteur commute avec des colimites arbitraires qui existent leurs catégorie de définition. Cependant, de manière générale, $\mathrm{hom}(X,-)$ ne commute pas avec les colimites, et $-\otimes X$ ne commute pas avec les limites ; cet échec se produit même avec des limites ou des colimites finies. Cette incapacité à préserver les suites exactes courtes motive la définition du foncteur Ext et du foncteur Tor.

Voir aussi

Bibliographie

• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, Algèbre I, Springer-Verlag

Articles connexes

• Curryfication
• Foncteur Ext
• Foncteur Tor