Voir la source de Approximation de π

{{titre mis en forme|Approximation de {{Police de caractères|text=π|font=Times}}}}
[[Fichier:Record pi approximations fr.svg|vignette|upright=2|Graphique montrant l'évolution historique de la précision record des approximations numériques de {{math|π}}, mesurée en décimales (représentée sur une [[échelle logarithmique]]).]]
Dans l'[[histoire des mathématiques]], les [[approximation]]s de la [[Table de constantes mathématiques|constante]] [[Pi|{{math|π}}]] ont atteint une précision de 0,04 % de la valeur réelle avant le début de notre ère ([[Archimède]]). Au {{s-|V}}, des [[mathématiques chinoises|mathématiciens chinois]] les ont améliorées jusqu'à sept décimales.

De grandes avancées supplémentaires n'ont été réalisées qu'à partir du {{s-|XV}} ([[Al-Kashi]]). Les premiers mathématiciens modernes ont atteint une précision de {{nb|35 décimales}} au début du {{s-|XVII}} ([[Ludolph van Ceulen]]) et {{nobr|126 chiffres}} au {{s-|XIX}} ([[Jurij Vega]]), dépassant la précision requise pour toute application concevable en dehors des [[mathématiques pures]].

Le record de l'approximation manuelle de {{math|π}} est détenu par [[William Shanks (mathématicien)|William Shanks]], qui a calculé 527 décimales correctes vers 1873. Depuis le milieu du {{s-|XX}}, l'approximation de {{math|π}} est effectuée sur ordinateurs par des logiciels spécifiques.

Le {{Date-|9 juin 2022}}, le record est établi avec cent mille milliards de décimales par [[Emma Haruka Iwao]], travaillant sur [[Google Cloud Platform|Google Cloud]] durant 157 jours<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Emma Haruka Iwao|titre=Even more pi in the sky: Calculating 100 trillion digits of pi on Google Cloud|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-100-trillion-digits-of-pi-on-google-cloud|date= |site=cloud.google.com|consulté le=10 juin 2022}}</ref>.

== Histoire ==
=== Antiquité ===
Les approximations les plus connues de {{math|π}} datant avant l'ère commune étaient exactes à deux décimales ; cela a été amélioré avec les mathématiques chinoises en particulier au milieu du premier millénaire, à une précision de sept décimales. Après cela, aucun progrès n'a été réalisé jusqu'à la fin de la [[Moyen Âge|période médiévale]].{{Pas clair}}

Les [[Mathématiques mésopotamiennes|mathématiques babyloniennes]] évaluaient généralement {{math|π}} à 3, ce qui suffisait pour les projets architecturaux de l'époque (notamment dans la description du [[temple de Salomon]] dans la [[Tanakh|Bible hébraïque]]). Les Babyloniens savaient qu'il s'agissait d'une approximation, et une vieille tablette mathématique babylonienne exhumée près de [[Suse (Iran)|Suse]] en 1936 (datée entre le {{s mini-|XIX}} et le {{sav-|XVII}} avant notre ère) apporte une meilleure approximation de {{math|π}}, {{Formule|1={{frac|25|8}} = 3,125}}, soit proche de 0,5% de la valeur exacte<ref>{{en}} David Gilman Romano, ''Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion'', [[Société américaine de philosophie|American Philosophical Society]], 1993, {{p.|78}}, {{Google Livres|q0gyy5JOZzIC|page=78|aperçu}}.</ref>{{,}}<ref>E. M. Bruins, ''[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00018846.pdf Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse]'', 1950.</ref>{{,}}<ref>E. M. Bruins and M. Rutten, « Textes mathématiques de Suse », ''Mémoires de la Mission archéologique en Iran'', vol. {{XXXIV}}, 1961.</ref>{{,}}<ref>Voir aussi {{harvsp|Beckmann|1971|pages=12, 21-22}} {{Citation|in 1936, a tablet was excavated some {{nb|200 miles}} from Babylon}}.</ref>.

À peu près au même moment, le [[papyrus Rhind]] (daté de la [[Deuxième Période intermédiaire]] égyptienne, soit 1600 avant notre ère) donne une procédure algorithmique pour calculer l'aire d'un [[Disque_(géométrie)|disque]] qui correspond, dans le cas du calcul d'une aire, à l'approximation {{math|π ≈ {{sfrac|256|81}} (≈ 3,16)}} (précise à 0,6 %)<ref name="Imhausen">{{en}} [[Victor J. Katz]] (ed.), [[Annette Imhausen]] {{et al.}}, ''The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook'', [[Princeton University Press]], 2007 {{ISBN|978-0-691-11485-9}}, p. 30-31.</ref>. Le papyrus Rhind n'utilise cependant pas de constante multiplicative analogue à {{math|π}} pour passer de l'aire du carré du rayon (ou du diamètre) à celle du disque<ref name="Imhausen"/>. Aucune relation n'est faite avec le rapport de la la circonférence du [[cercle]]) au diamètre, ni avec le calcul de cette circonférence<ref name="Imhausen"/>. En fait, il n'est jamais question de circonférence du cercle dans les textes mathématiques écrits en [[hiératique]] qui nous sont parvenus<ref>{{Ouvrage|langue=en|titre=Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History|nom=Imhausen|prénom=Annette|auteur=Annette Imhausen|lien auteur1=Annette Warner|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2016|isbn=9780691209074|url=https://books.google.com/books?id=xkjWDwAAQBAJ}}, p. 118.</ref>.

Les calculs astronomiques dans le ''[[Śatapatha brāhmaṇa]]'' (vers le {{sav-|VI}} avant notre ère) utilisent l'approximation fractionnaire {{Formule|339/108 ≈ 3,139}}<ref>{{en}} Krishna Chaitanya, ''A Profile of Indian Culture'', Indian Book Company, 1975, {{p.|133}}.</ref>.

Au {{sav-|III}} avant notre ère, [[Archimède]] a prouvé les [[Inégalité (mathématiques)|inégalités]] strictes {{Fraction|223|71}}&nbsp;<&nbsp;{{math|π}}&nbsp;<&nbsp;{{Fraction|22|7}}, au moyen d'un [[Polygone|96-gone]] (précision de {{nb|2 e−4}} et {{nb|4 e−4}}, respectivement). Il est aussi possible de prouver que [[22 / 7 dépasse π]] grâce à un [[Intégration (mathématiques)|calcul d'intégrales]] élémentaire<ref>On a en effet <math>\frac{22}{7}-\pi = \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} dx</math>. {{article|auteur=D. P. Dalzell|titre=On 22/7|périodique=J. London Math. Soc.|volume=19|numéro=75|année=1944|pages=133-134|doi=10.1112/jlms/19.75_Part_3.133}}.</ref>, mais cette technique n'existait pas à l'époque d'Archimède.

Au {{s-|II}}, [[Claude Ptolémée|Ptolémée]] a utilisé la valeur {{Fraction|377|120}}, la première approximation connue précise à trois décimales<ref>{{lien web<!--|consulté le=7/9/2017-->|lang=en|url=https://archive.is/l1KZ#selection-11.0-15.18|titre=The story of pi|auteur=Lazarus Mudehwe}}.</ref>.

{{article détaillé|Algorithme de Liu Hui pour π}}
Le mathématicien chinois [[Liu Hui]], en 263, a calculé que {{math|π}} serait compris entre 3,141024 et 3,142708, valeurs correspondant respectivement aux constructions d'un 96-gone et d'un 192-gone ; la moyenne de ces deux valeurs est 3,141866 (précision de {{nb|9 e−5}}). Il a également suggéré que 3,14 était une approximation suffisante pour des applications pratiques. Il a souvent été crédité d'un résultat plus précis {{Formule|1=π ≈ 3927/1250 = 3,1416}} (précision de {{nb|2 e−6}}), bien que certains chercheurs pensent plutôt que celui-ci est dû au mathématicien chinois [[Zu Chongzhi]] (429-500)<ref>{{Article|langue=en|nom1=Lam|prénom1=Lay Yong|lien auteur1=Lam Lay Yong|nom2=Ang|prénom2=Tian Se|doi=10.1016/0315-0860(86)90055-8|numéro=4|journal=[[Historia Mathematica]]|math reviews=875525|pages=325-340|titre=Circle measurements in ancient China|volume=13|année=1986}}.</ref>. Zu Chongzhi est connu pour avoir donné l'encadrement de {{math|π}} entre 3,1415926 et 3,1415927, correct à sept décimales près. Il a donné deux autres approximations de {{math|π}} : {{Formule|π ≈ 22/7}} et {{Formule|π ≈ 355/113}}. La dernière fraction est la meilleure approximation rationnelle possible de {{math|π}} en utilisant moins de cinq chiffres décimaux au numérateur et au dénominateur. Le résultat de Zu Chongzhi restera l'approximation la plus juste pendant près d'un millénaire.

À l'époque de l'[[empire Gupta]] ({{s-|VI}}), le mathématicien [[Aryabhata]], dans son traité astronomique ''[[Āryabhaṭīya]]'', a calculé la valeur de {{math|π}} à cinq [[Chiffre significatif|chiffres significatifs]] ({{Formule|1=π ≈ 62832/20000 = 3,1416}})<ref>Āryabhaṭīya (gaṇitapāda 10), cité et traduit dans {{en}} Harold R. Jacobs, ''Geometry: Seeing, Doing, Understanding'', 2003 ({{3e|éd.}}), New York, W. H. Freeman and Company, {{p.|70}}.</ref>. Il l'a utilisée pour calculer une approximation de la circonférence de la [[Terre]]<ref>{{MacTutor|id=Aryabhata_I|title=Aryabhata the Elder}}</ref>. Aryabhata a affirmé que son résultat donnait « approximativement » (''āsanna'') la circonférence d'un cercle. [[Nilakantha Somayaji]] ([[école du Kerala]]) a fait remarquer, au {{s-|XV}}, que le mot signifie non seulement que c'est une approximation, mais que la valeur est « incommensurable » ({{c.-à-d.}} [[Nombre irrationnel|irrationnelle]])<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=S. Balachandra Rao|titre=Indian Mathematics and Astronomy|sous-titre=Some Landmarks|lieu=Bangalore|éditeur=Jnana Deep Publications|année=1998|pages totales=207|isbn=978-81-7371-205-0|isbn10=81-7371-205-0}}</ref>.

=== [[Moyen Âge]] ===
Au {{s-|V}}, {{math|π}} était connu à environ sept décimales dans les mathématiques chinoises, et à environ cinq dans les [[mathématiques indiennes]]. Les progrès suivants n'ont été réalisés que plus d'un millénaire après, au {{s-|XIV}}, lorsque le mathématicien et astronome indien [[Madhava de Sangamagrama]], fondateur de l'[[école du Kerala]] d'astronomie et de mathématiques, a découvert une [[Série (mathématiques)|série infinie]] pour {{math|π}}, maintenant connue sous le nom de [[Formule de Leibniz|formule de Madhava-Leibniz]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=George E. Andrews|prénom1=Ranjan Roy|auteur2=Richard Askey|titre=Special Functions|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1999|pages totales=682|page=58|isbn=978-0-521-78988-2|isbn10=0-521-78988-5}}.</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|prénom=R. C.|nom=Gupta|titre=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series|journal=Ganita Bharati|volume=14|numéro=1-4|année=1992|pages=68-71}}.</ref>, et a donné deux méthodes pour calculer la valeur de {{math|π}}. Ce faisant, il a obtenu la série infinie
: <math>\pi = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-3)^{-k}}{2k+1} = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-\frac13)^k}{2k+1} = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)</math>
et a utilisé les 21 premiers termes pour calculer les 11 premières décimales de {{math|π}}.

L'autre méthode qu'il utilisait était d'ajouter un terme restant à la série originale de {{math|π}}. Il a utilisé le terme restant
: <math>\frac{n^2 + 1}{4n^3 + 5n}</math>
dans l'extension de série infinie de {{frac|π|4}} pour améliorer l'approximation de {{math|π}} à 13 décimales, lorsque {{Formule|''n''}}&nbsp;=&nbsp;75.

En 1424, [[Al-Kashi]], un [[Astronomie arabe|astronome et mathématicien perse]], a calculé correctement {{math|2π}} à 9 chiffres [[Système sexagésimal|sexagésimaux]]<ref>''Al-Kashi'', author: Adolf P. Youschkevitch, chief editor: Boris A. Rosenfeld, {{p.|256}}</ref>. Convertie en [[Système décimal|base dix]], cette approximation est donnée par {{nobr|17 chiffres}} :
: <math> 2\pi \approx 6{,}28318530717958648</math>,
ce qui équivaut à
: <math> \pi \approx 3{,}14159265358979324</math>.
Il a atteint ce niveau de précision en calculant le périmètre d'un [[polygone régulier]] à 3 × 2{{exp|28}} côtés<ref>{{article |langue=en |prénom1=Mohammad K. |nom1=Azarian |titre=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary |journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences |volume=22 |numéro=2 |année=2010 |pages=64-85 | doi=10.35834/mjms/1312233136 |accès doi=libre}}.</ref>.

=== Du {{sp-|XVI|au|XIX}} ===
Le mathématicien germano-néerlandais [[Ludolph van Ceulen]] (vers 1600) a calculé les 35 premières décimales de {{math|π}} à l'aide d'un 2{{exp|62}}-gone. Il était si fier de ce résultat qu'il l'a fait inscrire sur sa [[pierre tombale]].

Dans ''Cyclometricus'' (1621), [[Willebrord Snell]] affirme que le périmètre du polygone inscrit approche la circonférence deux fois plus vite que le périmètre du polygone circonscrit correspondant. La preuve sera apportée par [[Christiaan Huygens]] en 1654. Snell a obtenu 7 décimales de {{math|π}} avec un {{Lien|langue=en|trad=Enneacontahexagon|fr=96-gone}}<ref>http://www.ijpam.eu/contents/2003-7-2/4/4.pdf</ref>.

En 1789, le mathématicien [[Slovénie|slovène]] [[Jurij Vega]] a calculé les 140 premières décimales de {{math|π}}, cependant les 14 dernières étaient incorrectes<ref name="Sandifer2007">{{Chapitre|langue=en|titre ouvrage={{Langue|sl|Jurij baron Vega in njegov čas: Zbornik ob 250-letnici rojstva}}|éditeur=DMFA|lieu=Ljubljana|isbn=978-961-6137-98-0|lccn=2008467244|oclc=448882242|année=2006|auteur=Edward Sandifer|page=17|titre=Why 140 Digits of Pi Matter|url=https://web.archive.org/web/20160303184631/http://people.wcsu.edu/sandifere/History/Preprints/Talks/Jurij%20Vega/Vega%20math%20script.pdf#page=17}} : {{Citation étrangère|lang=en|We should note that Vega's value contains an error in the 127th digit. Vega gives a 4 where there should be an, and all digits after that are incorrect.}}</ref> ; ce résultat a néanmoins été le record du monde pendant {{nobr|52 ans}}, jusqu'en 1841, lorsque {{Lien|langue=en|trad=William Rutherford (mathematician)|fr=William Rutherford}} a calculé 208 décimales dont les 152 premières étaient correctes. Vega a ensuite amélioré la formule de [[John Machin]] à partir de 1706 et sa méthode est encore mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien amateur anglais [[William Shanks (mathématicien)|William Shanks]] a passé plus de {{nobr|20 ans}} à calculer les 707 premières décimales de {{math|π}}. Lorsqu'il eut terminé sa tâche en 1873, les 527 premières décimales étaient correctes. Il calculait de nouvelles décimales toute la matinée et passait l'après-midi à vérifier le travail de la matinée. Il s'agissait de l'approximation la plus précise de {{math|π}} jusqu'à l'avènement de l'ordinateur, un siècle plus tard.

=== {{s-|XX}} ===
En 1910, le mathématicien indien [[Srinivasa Ramanujan]] a trouvé plusieurs séries infinies de {{math|π}} à convergence rapide, comme
: <math> \frac1{\pi} = \frac{2\sqrt2}{9\,801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1\,103+26\,390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math>
qui calcule à chaque nouvelle [[itération]] huit décimales supplémentaires de {{math|π}}. Ses séries sont maintenant la base des algorithmes les plus rapides actuellement utilisés pour calculer {{math|π}}.

À partir du milieu du {{s-|XX}}, tous les calculs de {{math|π}} ont été effectués à l'aide de [[calculatrice]]s ou d'[[ordinateur]]s.

En 1944, D. F. Ferguson, à l'aide d'une [[calculatrice mécanique]], a constaté que William Shanks avait commis une erreur à la {{528e}} décimale et que toutes les décimales suivantes étaient incorrectes.

Dans les premières années de l'ordinateur, un développement de {{math|π}} à {{nb|100000}} décimales<ref name="Shanks & Wrench"/> a été calculé par le mathématicien de l'[[université du Maryland]] [[Daniel Shanks]] (n'ayant aucun rapport avec William Shanks mentionné ci-dessus) et son équipe au [[Naval Research Laboratory]] à [[Washington (district de Columbia)|Washington]]. En 1961, Shanks et son équipe ont utilisé deux séries différentes pour calculer les décimales de {{math|π}}. Pour l'une, on savait que toute erreur produirait une valeur légèrement trop élevée, et pour l'autre, on savait que toute erreur produirait une valeur légèrement trop faible par rapport à la valeur réelle ; par conséquent, tant que les deux séries produisaient les mêmes chiffres, il n'y avait pratiquement aucun doute sur la justesse des décimales calculées. Les premiers {{nb|100265}} chiffres après la virgule de {{math|π}} ont été publiés en 1962<ref name="Shanks & Wrench">{{article|langue=en|prénom1=D.|nom1=Shanks|lien auteur1=Daniel Shanks|auteur2={{Lien|trad=John Wrench|texte=J. W. Wrench, Jr.}}|titre=Calculation of {{math|π}} to 100,000 decimals|journal=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M|Math. Comp.]]|volume=16|année=1962|pages=76-99|doi=10.2307/2003813|jstor=2003813|numéro=77}} ({{p.|80-99}}).</ref>.

En 1989, les [[David et Gregory Chudnovsky|frères Chudnovsky]] ont calculé correctement {{math|π}} à {{nb|4,8 e8}} décimales grâce au [[superordinateur]] [[IBM 360 et 370#Série IBM 390|IBM 3090]] en utilisant la variation suivante de la série infinie de Ramanujan :
: <math> \frac1{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13\,591\,409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640\,320^{3k + 3/2}}</math>.
En 1999, [[Yasumasa Kanada]] et son équipe de l'[[université de Tokyo]] ont calculé {{math|π}} à {{nb|2,0615843 e11}} décimales, grâce au superordinateur [[Hitachi]] SR8000/MPP en utilisant une autre variante de la série infinie de Ramanujan.

=== {{s-|XXI}} ===
Certains records depuis 2009 ont été accomplis par des calculs sur des ordinateurs personnels en utilisant l'[[algorithme de Chudnovski]]

Le 6 décembre 2002, Yasumasa Kanada et une équipe de 9 autres personnes, utilisant le Hitachi SR8000, un supercalculateur avec 1 téraoctet de mémoire, ont calculé {{math|π}} à environ {{nb|1,2411 e12}} décimales en environ 600 heures<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.super-computing.org/pi_current.html|titre=Announcement|site=super-computing.org (Kanada Laboratory)}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation|auteur=David H. Bailey|date=16/5/2003|url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf}}.</ref>.

Le 29 avril 2009, Daisuke Takahashi {{et al.}}, de l'[[université de Tsukuba]], avec un supercalculateur T2K, ont plus que doublé le record précédent, en calculant {{math|π}} à plus de {{nb|2,57 e12}} décimales, en moins de 74 heures au total (calcul et vérification)<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.hpcs.cs.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi.html|titre=Declared record: 2,576,980,370,000 decimal digits|auteur=[http://www.hpcs.cs.tsukuba.ac.jp/~daisuke Daisuke Takahashi]|date=17/8/2009}}.</ref>.

Le 31 décembre 2009, [[Fabrice Bellard]] a utilisé un ordinateur personnel pour calculer un peu moins de {{nb|2,7 e12}} décimales de {{math|π}}. Les calculs ont été effectués en binaire, puis le résultat a été converti en base 10. Les étapes de calcul, de conversion et de vérification ont pris au total {{nobr|131 jours}}<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Fabrice Bellard|titre=Pi Computation Record|url=http://bellard.org/pi/pi2700e9}}.</ref>.

De 2010 à 2020, tous les records ont été obtenus à l'aide du logiciel « y-cruncher » d'Alexander Yee :
* En août 2010, Shigeru Kondo a calculé {{nb|5 e12}} décimales de {{math|π}}<ref>{{Lien archive|lang=en|horodatage archive=20110928084418|url=http://www.mccormick.northwestern.edu/news/articles/article_743.html|titre=McCormick Grad Sets New Pi Record|date=6/8/2010}}.</ref>. Le calcul a été effectué entre le 4 mai et le 3 août, les vérifications primaires et secondaires ayant respectivement duré 64 et 66 heures<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Alexander J. Yee|auteur2=Shigeru Kondo|titre=5 Trillion Digits of Pi - New World Record|url=http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html|mois=8|année=2010}}.</ref>.
* Le 16 octobre 2011, Shigeru Kondo a doublé son propre record en calculant {{nb|e13}} décimales en utilisant la même méthode, mais assisté d'un meilleur matériel<ref>{{Lien web|auteur1=By Glenn|nom1=By Glenn|titre=Short Sharp Science: Epic pi quest sets 10 trillion digit record|url=https://www.newscientist.com/blogs/shortsharpscience/2011/10/pi-10-trillion.html|éditeur=Newscientist.com|date=2011-10-19|consulté le=2016-04-18}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Alexander J. Yee|auteur2=Shigeru Kondo|titre=Round 2... 10 Trillion Digits of Pi|url=http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html|date=22 octobre 2011}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|titre=Le nombre Pi : Historique du record de décimales|url=http://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/histoire-des-nombres/191-pi-historique-du-record-de-decimales|site=www.math93.com<!--|consulté le=10/9/2017-->}}.</ref>.
* En décembre 2013, Kondo a battu son propre record pour la seconde fois lorsqu'il a calculé {{nb|1,21 e13}} décimales de {{mathPi}}. La limitation était principalement due à l'espace de stockage<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Alexander J. Yee|auteur2=Shigeru Kondo|titre=12.1 Trillion Digits of Pi, And we're out of disk space...|url=http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-12t/|date=28 décembre 2013}}.</ref>.
* Le 8 octobre 2014, un individu non identifié, connu sous le pseudonyme de « houkouonchi », a calculé {{nb|1,33 e13}} décimales de π<ref name="Yee2016">{{Lien web|langue=en|auteur=Alexander J. Yee|titre=y-cruncher: A Multi-Threaded Pi Program|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|date=2017|site = www.numberworld.org}}.</ref>.
* Le 15 novembre 2016, Peter Trueb et ses sponsors ont calculé, toujours grâce au programme y-cruncher, {{nb|2.2459157718361 e13}} ({{mathPi}}{{exp|[[e (nombre)|e]]}} × {{nb|e12}}) décimales de {{mathPi}}. Le calcul a pris (avec 3 interruptions) {{nobr|105 jours}}<ref name="Yee2016"/>{{,}}<ref>{{Lien arXiv|auteur=Peter Treub|année=2016|titre=Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi|eprint=1612.00489 }}</ref>.
* Le 14 mars 2019, Google, en la personne d'[[Emma Haruka Iwao]], rend public<ref>{{Lien web|langue=fr|url=https://www.01net.com/actualites/google-explose-le-record-de-calcul-de-decimales-de-pi-1652494.html|titre=Google explose le record de calcul de décimales de pi|date=14/3/2019}}.</ref> le nouveau record qui s'établit à {{nb|31415926535897}} (la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de {{nb|π e13}}) décimales de {{math|π}}.
* Le 29 janvier 2020 un nouveau record est établi avec 50 [[Billion (nombre)|billions]] de décimales ({{formatnum:50000000000000}}) par Timothy Mullican<ref>{{lien web|titre=Most accurate value of pi|url=https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/66179-most-accurate-value-of-pi|consulté le=2020-12-02|site=Guinness World Records|langue=en-GB}}</ref>{{,}}<ref>{{lien web|nom=Mullican|prénom=Timothy|date=2019-06-26|titre=Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record|url=http://blog.timothymullican.com/calculating-pi-my-attempt-breaking-pi-record|consulté le=2020-12-02|site=Bits and Bytes|langue=en-US}}</ref>, après {{nobr|303 jours}} de calcul<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=|titre=y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|date=14 février 2021 |site=y-cruncher |consulté le=20 mars 2021}}</ref>.
* Le {{Date-|16 août 2021}} un nouveau record est établi avec 62,8 billions de décimales par Thomas Keller et Heiko Rölke de la {{Lien|fr=Haute école des sciences appliquées|trad=Fachhochschule Graubünden|lang=de}} des [[Grisons]] en [[Suisse]]<ref>Un nouveau record de calcul du nombre Pi établit en Suisse. RTS Info, 16 aout 2021. [https://www.rts.ch/info/sciences-tech/12422009-un-nouveau-record-de-calcul-du-nombre-pi-etablit-en-suisse.html Lire en ligne]</ref>. Le temps de calcul a été d'un peu plus de {{nobr|108 jours}}.
* Le {{Date-|9 juin 2022}}, ce record est à nouveau battu par Emma Haruka Iwao, calculant cette fois cent billions de décimales en 157 jours<ref>{{Lien web|langue = anglais|url = https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-100-trillion-digits-of-pi-on-google-cloud|site = cloud.google.com/blog|titre = Even more pi in the sky: Calculating 100 trillion digits of pi on Google Cloud|date = 8 juin 2022|présentation en ligne = https://www.youtube.com/watch?v=nMqdRu9gGGs}}.</ref>.

== Développement de formules efficaces ==
=== Approximation polygonale d'un cercle ===
Archimède, dans ''[[De la mesure du cercle]]'', a créé le premier [[Procédé archimédien|algorithme]] pour le calcul de {{math|π}}, basé sur l'idée que le périmètre de n'importe quel polygone inscrit dans un cercle est inférieur à la circonférence du cercle qui, à son tour, est inférieure au périmètre de tout polygone circonscrit à ce cercle. Il a commencé par des hexagones réguliers inscrits et circonscrits, dont les périmètres sont facilement déterminés. Il montre alors comment calculer les périmètres des polygones réguliers ayant deux fois plus de côtés qui sont inscrits et circonscrits autour du même cercle. Il s'agit d'une procédure [[Récursivité|récursive]] qui serait décrite aujourd'hui comme suit :

Soit {{Formule|''p''{{ind|''k''}}}} et {{Formule|''P''{{ind|''k''}}}} les périmètres de polygones réguliers à {{Formule|''k''}} côtés, inscrits et circonscrits autour du même cercle, respectivement. Alors,
: <math>P_{2n} = \frac{2p_nP_n}{p_n + P_n}, \quad \quad p_{2n} = \sqrt{p_n P_{2n}}.</math>
Archimède a utilisé le processus décrit pour calculer successivement {{Formule|''P''{{ind|12}}, ''p''{{ind|12}}, ''P''{{ind|24}}, ''p''{{ind|24}}, ''P''{{ind|48}}, ''p''{{ind|48}}, ''P''{{ind|96}}}} et {{Formule|''p''{{ind|96}}}}<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Eves|1992|p=131}}.</ref>. Il a obtenu l'encadrement suivant en partant des trois dernières valeurs
:: <math>3 +\frac{10}{71} < \pi < 3 +\frac17</math>.
On ne sait pas pourquoi Archimède s'est arrêté à un polygone de 96 côtés. [[Héron d'Alexandrie|Héron]] rapporte dans son ''Metrica'' qu'Archimède a continué le calcul dans un livre maintenant perdu, mais lui attribue une valeur incorrecte<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Beckmann|1971|p=66}}.</ref>.

Archimède n'a pas utilisé la [[trigonométrie]] dans ce calcul et la difficulté d'appliquer la méthode réside dans l'obtention de bonnes approximations pour les racines carrées des calculs impliqués. La trigonométrie a probablement été utilisée par [[Claude Ptolémée|Claudius Ptolémée]] pour obtenir la valeur de {{math|π}} donnée dans l'''[[Almageste]]'' (environ 150 après J.C.)<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Eves|1992|p=118}}.</ref>.

La [[formule de Viète]], publiée par [[François Viète]] en 1593, a été obtenue en utilisant une méthode polygonale, avec des aires (plutôt que des périmètres) de polygones dont les nombres de côtés sont des puissances de 2<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Beckmann|1971|p=94-95}}.</ref>.

Une amélioration trigonométrique par [[Willebrord Snell]] (1621) a permis d'obtenir de meilleures limites à partir de la méthode du polygone. Ainsi, des résultats plus précis ont été obtenus, nécessitant moins de côtés<ref name="EvesSnell">{{harvsp|Eves|1992|page=119}}.</ref>. La dernière tentative majeure de calculer {{math|π}} par cette méthode a été effectuée en 1630 par [[Christopher Grienberger]], qui a calculé 39 décimales en utilisant l'amélioration de Snell.

=== Formules du type de Machin ===
{{article détaillé|Formule de Machin}}
Pour des calculs rapides, on peut utiliser des formules similaires à celle de [[John Machin]] :
: <math>\frac{\pi}4= 4 \arctan\frac15- \arctan\frac1{239} </math>
avec le développement en [[série de Taylor]] de la fonction [[arc tangente]]. Cette formule se vérifie plus facilement à l'aide de [[coordonnées polaires]] de [[Nombre complexe|nombres complexes]], produisant :
:<math>(5+\mathrm i)^4\cdot(239-\mathrm i)=2^2 \cdot 13^4(1+\mathrm i)</math>.

((''x'', ''y'') = (239, 13{{2}}) est une solution de l'[[équation de Pell]] ''x''{{2}} − 2''y''{{2}} = −1.)

Les formules de ce type sont connues sous le nom de [[Formule de Machin#Formules du type de Machin|formules du type de Machin]]. Elles ont bien été utilisées dans l'ère informatique pour calculer un nombre record de décimales de {{math|π}} mais plus récemment, d'autres formules similaires ont été utilisées.

Par exemple, Shanks et son équipe ont utilisé la formule suivante de Machin en 1961 pour calculer les {{nb|100000}} premiers chiffres de {{math|π}} :
:<math>\frac{\pi}4= 6 \arctan\frac18+ 2 \arctan\frac1{57} + \arctan\frac1{239} </math>,
ainsi que
:<math>\frac{\pi}4= 12 \arctan\frac1{18} + 8 \arctan\frac1{57} - 5 \arctan\frac1{239}</math>,
servant de vérification.

Le record enregistré en décembre 2002 par Yasumasa Kanada {{supra|XXIe.C2.A0siècle}} utilisait les formules suivantes de Machin :
: <math>\frac{\pi}4= 12 \arctan\frac1{49} + 32 \arctan\frac1{57} - 5 \arctan\frac1{239} + 12 \arctan\frac1{110443}</math>
K. Takano (1982).
: <math>\frac{\pi}4= 44 \arctan\frac1{57} + 7 \arctan\frac1{239} - 12 \arctan\frac1{682} + 24 \arctan\frac1{12943}</math>
F. C. W. Störmer (1896).

=== Autres formules classiques ===
D'autres formules qui ont été utilisées pour calculer les estimations de {{math|π}} sont entre autres :

[[Liu Hui]] (voir aussi [[Formule de Viète]]) :
: <math>
\begin{align}
\pi &\approx 768 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+1}}}}}}}}}\\
&\approx 3{,}141590463236763.
\end{align}
</math>
[[Madhava de Sangamagrama|Madhava]] :
: <math>\pi = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-3)^{-k}}{2k+1} = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-\frac13)^k}{2k+1} = \sqrt{12}\left({1\over 1\cdot3^0}-{1\over 3\cdot3^1}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)</math>
[[Leonhard Euler|Euler]] :
: <math>{\pi} = 20 \arctan\frac17+ 8 \arctan\frac3{79} </math>
Transformation de [[Isaac Newton|Newton]]/Euler<ref>{{MathWorld|nom_url=PiFormulas|titre=Pi Formulas}}.</ref> :
: <math>
\frac{\pi}2=
\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= \sum_{k=0}^{\infty} \cfrac {2^k k!^2}{(2k + 1)!} =
1+\frac13\left(1+\frac25\left(1+\frac37\left(1+\cdots\right)\right)\right)
</math>
où (2''k'' + 1)!! désigne le produit des entiers impairs jusqu'à 2''k'' + 1.

[[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] :
: <math> \frac1{\pi} = \frac{2\sqrt2}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math>
[[David et Gregory Chudnovsky]] :
: <math> \frac1{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} </math>
Le travail de Ramanujan est à la base de l'algorithme de Chudnovsky, les algorithmes les plus rapides utilisés pour calculer {{math|π}}.

=== Algorithmes modernes ===
Les développements décimaux extrêmement longs de {{math|π}} sont généralement calculés avec des algorithmes tels que l'[[Formule de Brent-Salamin|algorithme de Gauss-Legendre]] et l'{{Lien|langue=en|trad=Borwein's algorithm|fr=algorithme de Borwein}}. Ce dernier, trouvé en 1985 par [[Jonathan Borwein|Jonathan]] et [[Peter Borwein]], converge très rapidement :

Pour <math>y_0=\sqrt2-1,\ a_0=6-4\sqrt2</math> et
: <math>y_{k+1}=(1-f(y_k))/(1+f(y_k)) ~,~ a_{k+1} = a_k(1+y_{k+1})^4 - 2^{2k+3} y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^2) </math>
où <math>f(y)=(1-y^4)^{1/4}</math>, la suite <math>1/a_k</math> [[Vitesse de convergence|converge de manière quartique]] vers {{math|π}} et donne 171 décimales en trois étapes<ref>{{article|auteur=J. M. Borwein, P. B. Borwein, D. H. Bailey
|langue=en|titre=Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi
|périodique=Amer. Math. Monthly|année=1989|volume=96|numéro=3|pages=201-219|doi=10.1080/00029890.1989.11972169
}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ronald Mak|titre=Java Number Cruncher : The Java Programmer's Guide to Numerical Computing|éditeur=[[Prentice Hall]]|année=2003|page=353|lire en ligne={{Google Livres|h0d8hVA5HyQC|page=353}}}}.</ref>, donc plus de {{nb|e12}} décimales en 20 étapes. Cependant, l'algorithme de Chudnovsky (qui converge linéairement) est {{refnec|plus rapide}} que ces formules itératives.

Le premier million de décimales de {{math|π}} et {{math|1/π}} sont disponibles grâce au [[projet Gutenberg]] (voir les liens externes ci-dessous).


=== Approximation de l'aire d'un disque par quadrillage ===
[[Fichier:Pi_30K.gif|droite|vignette|Approximation numérique de {{math|π}} : les points sont dispersés au hasard dans le carré unité, certains tombent dans le cercle unité. La fraction de points dans le cercle approche {{math|π/4}}.]]
{{math|π}} peut être obtenu à partir d'un cercle, si son rayon et son aire sont connus, en utilisant la relation :
: <math> A = \pi r^2</math>.
Si on considère un cercle de rayon ''{{Formule|r}}'' avec son centre situé en (0,&nbsp;0), tout point dont la distance à l'origine est inférieure à ''{{Formule|r}}'' sera situé dans le disque. Le [[théorème de Pythagore]] donne la distance de n'importe quel point ({{Formule|''x''}},&nbsp;{{Formule|''y''}}) au centre :
: <math>d=\sqrt{x^2+y^2}.</math>
Les carrés dont le centre se trouve à l'intérieur ou exactement à la limite du cercle peuvent ensuite être comptés en testant si, pour chaque point ({{Formule|''x''}},&nbsp;{{Formule|''y''}}),
: <math>\sqrt{x^2+y^2} \le r.</math>
Le nombre total de point satisfaisant cette condition se rapproche ainsi de l'aire du cercle, qui peut ensuite être utilisée pour calculer une approximation de {{math|π}}.

Cette formule s'écrit :
: <math>\pi = \lim_{r \to \infty} \frac1{r^2} \sum_{x=-r}^r\; \sum_{y=-r}^r\begin{cases}
1 & \text{si } \sqrt{x^2+y^2} \le r \\
0 & \text{si } \sqrt{x^2+y^2} > r. \end{cases}
</math>

Autrement dit, on commence par choisir une valeur pour {{Formule|''r''}}. En considérant tous les points ({{Formule|''x''}},&nbsp;{{Formule|''y''}}) dans lesquels {{Formule|''x''}} et {{Formule|''y''}} sont des entiers compris entre −{{Formule|''r''}} et {{Formule|''r''}}. Il suffit alors de diviser la somme représentant l'aire d'un cercle de rayon ''{{Formule|r}}'', par {{Formule|''r''{{2}}}} pour trouver une approximation de {{math|π}}. Par exemple, si {{Formule|''r''}} est égal à 5, alors les points considérés sont :
{| class="wikitable centre" cellspacing="15" style="font-size:75%;text-align:center;color:blue;height:1em"
|-
| style="color:black" | (−5,5)  || style="color:black" | (−4,5)  || style="color:black" | (−3,5)  || style="color:black" | (−2,5)  || style="color:black" | (−1,5)  || style="color:#bc1e47" | (0,5)  || style="color:black" | (1,5)  || style="color:black" | (2,5)  || style="color:black" | (3,5)  || style="color:black" | (4,5)  || style="color:black" | (5,5)
|-
| style="color:black" | (−5,4)  || style="color:black" | (−4,4)  || style="color:#bc1e47" | (−3,4)  || (−2,4)  || (−1,4)  || (0,4)  || (1,4)  || (2,4)  || style="color:#bc1e47" | (3,4)  || style="color:black" | (4,4)  || style="color:black" | (5,4)
|-
| style="color:black" | (−5,3)  || style="color:#bc1e47" | (−4,3)  || (−3,3) || (−2,3)  || (−1,3)  || (0,3)  || (1,3)  || (2,3)  || (3,3)  || style="color:#bc1e47" | (4,3)  || style="color:black" | (5,3)
|-
| style="color:black" | (−5,2)  || (−4,2)  || (−3,2) || (−2,2) || (−1,2) || (0,2) || (1,2) || (2,2) || (3,2) || (4,2)  || style="color:black" | (5,2)
|-
| style="color:black" | (−5,1) || (−4,1) || (−3,1) || (−2,1) || (−1,1) || (0,1) || (1,1) || (2,1) || (3,1) || (4,1) || style="color:black" | (5,1)
|-
| style="color:#bc1e47" | (−5,0) || (−4,0) || (−3,0) || (−2,0) || (−1,0) || (0,0) || (1,0) || (2,0) || (3,0) || (4,0) || style="color:#bc1e47" | (5,0)
|-
| style="color:black" | (−5,−1) || (−4,−1) || (−3,−1) || (−2,−1) || (−1,−1) || (0,−1) || (1,−1) || (2,−1) || (3,−1) || (4,−1) || style="color:black" | (5,−1)
|-
| style="color:black" | (−5,−2) || (−4,−2) || (−3,−2) || (−2,−2) || (−1,−2) || (0,−2) || (1,−2) || (2,−2) || (3,−2) || (4,−2) || style="color:black" | (5,−2)
|-
| style="color:black" | (−5,−3) || style="color:#bc1e47" | (−4,−3) || (−3,−3) || (−2,−3) || (−1,−3) || (0,−3) || (1,−3) || (2,−3) || (3,−3) || style="color:#bc1e47" | (4,−3) || style="color:black" | (5,−3)
|-
| style="color:black" | (−5,−4) || style="color:black" | (−4,−4) || style="color:#bc1e47" | (−3,−4) || (−2,−4) || (−1,−4) || (0,−4) || (1,−4) || (2,−4) || style="color:#bc1e47" | (3,−4) || style="color:black" | (4,−4) || style="color:black" | (5,−4)
|-
| style="color:black" | (−5,−5)  || style="color:black" | (−4,−5) || style="color:black" | (−3,−5) || style="color:black" | (−2,−5) || style="color:black" | (−1,−5) || style="color:#bc1e47" | (0,−5) || style="color:black" | (1,−5) || style="color:black" | (2,−5) || style="color:black" | (3,−5) || style="color:black" | (4,−5) || style="color:black" | (5,−5)
|}

Les 12 points (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) sont exactement sur le cercle, tandis que 69 points sont à l'intérieur. Par conséquent, l'aire est 81, et {{math|π}} est approximé à environ 3,24 car {{nobr|1=81/5{{2}} = 3,24.}} Les résultats pour certaines valeurs de {{Formule|''r''}} sont présentés dans le tableau ci-dessous :
<center>
[[Fichier:Kreuz-5.svg|vignette|Ce cercle tel qu'il serait tiré sur un graphique de [[coordonnées cartésiennes]]. Les points de coordonnées (±3, ±4) et (±4, ±3) sont marqués.|gauche]]
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! {{math|''r''}}
! Aire
! Approximation de {{math|π}}
|-
| 2
| 13
| 3,25
|-
| 3
| 29
| 3,22222
|-
| 4
| 49
| 3,0625
|-
| 5
| 81
| 3,24
|-
| 10
| 317
| 3,17
|-
| 20
| 1257
| 3,1425
|-
| 100
| 31417
| 3,1417
|-
| 1000
| 3141549
| 3,141549
|}
</center>
{{clr}}

=== Fractions continues ===
{{math|π}} a de nombreuses représentations en [[fraction continue généralisée]] générées par une règle simple<ref>D'autres représentations sont disponibles dans la [[Pi#Fractions continues|section « Fractions continues » de l'article sur {{math|π}}]].</ref>:
: <math>
\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \ddots\,}}}}.
</math>
: <math>
\pi = \cfrac4{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \ddots}}}}.
</math>

=== Trigonométrie ===

==== Série de Gregory-Leibniz ====
La [[Formule de Leibniz#Série alternée|série de Gregory-Leibniz]]
: <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac {(-1)^n}{2n+1} = 4\left( \frac11- \frac13+ \frac15- \frac17+- \cdots\right) \! = \cfrac4{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \ddots}}}}</math>
est la série entière pour arctan(''x'') en posant {{Formule|''x''}}&nbsp;=&nbsp;1. Elle converge trop lentement pour avoir un intérêt pratique.

==== Arcsinus 1 ====
Sachant que {{math|1=arcsin(1) = π/2}}, le [[fonction circulaire réciproque#Développement en série|développement en série entière de arc sin]] peut être simplifié pour obtenir :
: <math>\begin{align}
\pi &= 2\left( 1 + \cfrac13+ \cfrac{1\cdot2}{3\cdot5}
+ \cfrac{1\cdot2\cdot3}{3\cdot5\cdot7} + \cfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{3\cdot5\cdot7\cdot9}
+ \cfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11} + \cdots\right) \\
&= 2\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac {n!}{(2n + 1)!!}
= \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac {2^{n+1} n!^2} {(2n + 1)!}
= \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac {2^{n+1}} {\binom {2n} n (2n + 1)} \\
&= 2 + \frac23+ \frac4{15} + \frac4{35} + \frac{16}{315} + \frac{16}{693}
+ \frac{32}{3003} + \frac{32}{6435} + \frac{256}{109395} + \frac{256}{230945} + \cdots
\end{align}</math>,
mais avec une convergence presque aussi lente que la précédente (10 termes supplémentaires donnent trois décimales de plus).

==== Arcsinus 1/2 ====
En notant que
: <math>\sin\frac{\pi}6=\frac12</math>
nous avons
: <math>\begin{align}
\pi &= 6 \arcsin \left( \frac12\right)
= 6 \left( \frac12+ \frac1{2\cdot 3\cdot 2^3} + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^5}
 + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^7} + \cdots\! \right) \\
&= \frac3{16^0 \cdot 1} + \frac6{16^1 \cdot 3} + \frac {18} {16^2 \cdot 5} + \frac {60} {16^3 \cdot 7} + \cdots\!
= \sum_{n=0}^\infty \frac {3 \cdot \binom {2n} n} {16^n (2n+1)} \\
&= 3 + \frac18+ \frac9{640} + \frac{15}{7168} + \frac{35}{98304}
+ \frac{189}{2883584} + \cfrac{693}{54525952} + \frac{429}{167772160} + \cdots
\end{align}</math>
avec une convergence telle que pour cinq termes supplémentaires, on obtient au moins trois décimales de plus.

== Calcul de la ''n''-ième décimale de {{math|π}} ==
La [[Formule BBP|formule Bailey-Borwein-Plouffe]] (BBP) pour calculer {{math|π}} a été découverte en 1995 par [[Simon Plouffe]]. En utilisant le [[système hexadécimal]], la formule peut calculer n'importe quelle décimale de {{math|π}} sans avoir à calculer les décimales situées avant elle.
: <math>\pi=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac4{8n+1}-\frac2{8n+4}-\frac1{8n+5}-\frac1{8n+6}\right)\left(\frac1{16}\right)^n</math>.
En 1996, Simon Plouffe en a déduit un algorithme pour extraire le ''n''-ième chiffre décimal de {{math|π}}, en base 10, en un temps de calcul amélioré d'un facteur {{Formule|''O''(''n''{{3}}(log ''n''){{3}})}}. L'algorithme ne nécessite presque aucune mémoire de stockage<ref>{{en}} Simon Plouffe, ''On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers'', November 1996; Revised December 2009.</ref>.
: <math>\pi+3=\sum_{n=1}^\infty \frac{n2^nn!^2}{(2n)!}</math>.
Le temps de calcul de la formule de Plouffe a été amélioré de {{Formule|''O''(''n''{{2}})}} par [[Fabrice Bellard]], qui a démontré une formule alternative pour calculer {{math|π}}<ref>{{en}} Site web de Fabrice Bellard: [http://bellard.org/pi/pi_n2/pi_n2.html Bellard.org].</ref>.
: <math>\pi=\frac1{2^6}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \left (-\frac{2^5}{4n+1}-\frac1{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac1{10n+9}\right )</math>.

== Approximations diverses ==

Un certain nombre de formules ne visent pas à donner une approximation de plus en plus précise de Pi, mais expriment une approximation sous forme compacte, à partir de nombres entiers.

Historiquement, la [[Système sexagésimal|base 60]] a été utilisée pour les calculs de {{math|π}}. Dans cette base, {{math|π}} peut être approché à huit chiffres (décimaux) significatifs avec le nombre 3:8:29:44<sub>60</sub>, c'est-à-dire :

: <math> 3 + \frac8{60} + \frac{29}{60^2} + \frac{44}{60^3} = 3{,}14159\ 259^+</math>

(Le chiffre sexagésimal suivant est 0, ce qui permet de tronquer ici pour obtenir une approximation relativement bonne.)

En outre, les expressions suivantes peuvent être utilisées pour estimer {{math|π}} :
* précision de trois décimales :
:: <math>\frac{22}7=3{,}143^+</math>
* précision de trois décimales :
:: <math>\sqrt2+\sqrt3= 3{,}146^+</math>
: [[Karl Popper]] a spéculé<ref>{{en}} {{Langue|en|''[[La Société ouverte et ses ennemis|The Open Society and Its Enemies]]'', 1945, {{Google Livres|_M_E5QczOBAC|page=568|Notes on chapter six}}}}.</ref> sur l'hypothèse que cette approximation, mentionnée par [[Émile Borel]]<ref>''L'Espace et le temps'', 1922, Note III, § 6, {{Google Livres|obKkCj0VjBkC|page=216|aperçu}} de la traduction en anglais.</ref>, aurait pu avoir déjà été remarquée par [[Platon]].
:: <math>\sqrt{15} - \sqrt3+ 1 = 3{,}140^+</math>
* précision de quatre décimales:
:: <math>\sqrt[3]{31}=3{,}1413^+</math><ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Martin Gardner]]|titre=New Mathematical Diversions|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|année=1995|page=92}}.</ref>
* précision de quatre décimales :
:: <math>\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt5}} = 3{,}1416^+</math><ref>{{Lien archive|lang=en|horodatage archive=20110706215615|url=http://www.mschneider.cc/papers/pi.pdf|titre=A nested radical approximation for {{math|π}}|auteur=Martin Schneider}}.</ref>
* une approximation par [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]], précise à 4 chiffres :
:: <math>\frac95+\sqrt{\frac95}=3{,}1416^+</math>
* précision de cinq décimales :
:: <math>\frac{7^7}{4^9}=3{,}14156^+</math>
* précision de six décimales :
:: <math>\frac{355}{113}=3{,}141592^+</math>
:Découverte de [[Zu Chongzhi]].
* précision de neuf décimales :

::<math> \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac1{2+(\frac23)^2}} =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3{,}14159\ 2652^+</math>

Provenant de Ramanujan, celui-ci a affirmé que la [[Namagiri Thayar|déesse de Namagiri]] lui était apparue dans un rêve et lui avait dit la vraie valeur de {{math|π}}<ref>{{référence à confirmer|date=décembre 2017|{{refinc|date=décembre 2017|''[[Cahiers de Ramanujan]]'', {{p.|16}}.}}}}</ref>.

* précision de dix décimales :
:: <math>\frac{63}{25} \times \frac{17 + 15\sqrt5}{7 + 15\sqrt5} = 3{,}14159\ 26538^+</math>
* précision de dix décimales :
:: <math>\sqrt[193]{\frac{10^{100}}{11222.11122}} = 3{,}14159\ 26536^+</math>
Cette approximation curieuse résulte de l'observation que la {{193e}} puissance de {{math|1/π}}, produisant la suite 1122211125<ref>Suite {{OEIS2C|id=A271452}} de l'[[OEIS]].</ref>...{{Précision nécessaire}}

* précision de 18 décimales :
:: <math>\frac{80\sqrt{15}(5^4+53\sqrt{89})^\frac32}{3308(5^4+53\sqrt{89})-3\sqrt{89}}</math><ref name="CetinHakimoglu–Brown">{{lien web|langue=en|auteur=Cetin Hakimoglu
|url=http://iamned.com/math|titre=Mathematics|site=[[Seeking Alpha]]}}.</ref>
* précision à 30 chiffres :
:: <math>\frac{\ln(640320^3+744)}{\sqrt{163}} = 3{,}14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^+</math>
: Dérivé du [[nombre de Heegner]] 640320{{3}}+744. Cette méthode n'admet pas de généralisations évidentes, car il n'y a qu'un nombre fini de nombres de Heegner.
* précision de 52 décimales :
:: <math>\frac{\ln(5280^3(236674+30303\sqrt{61})^3+744)}{\sqrt{427}}</math>
: Comme celui ci-dessus, une conséquence du [[j-invariant]].
* précision de 161 décimales :
:: <math>\frac{\ln\big((2u)^6+24\big)}{\sqrt{3502}}</math>
: où u est un produit de quatre unités quartiques,
: <math>u = (a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2(c+\sqrt{c^2-1})(d+\sqrt{d^2-1})</math>
: et
: <math>\begin{align}
a &= \tfrac12(23+4\sqrt{34})\\
b &= \tfrac12(19\sqrt2+7\sqrt{17})\\
c &= (429+304\sqrt2)\\
d &= \tfrac12(627+442\sqrt2)
\end{align}</math>.
: Méthode basée sur le travail de [[Daniel Shanks]]. Semblable aux deux précédentes, mais qui est cette fois un quotient de [[forme modulaire]], à savoir la [[fonction êta de Dedekind]], et où l'argument implique <math>\tau = \sqrt{-3502}</math>.
* La [[fraction continue]] de {{math|π}} peut être utilisée pour générer des approximations rationnelles successives. Ce sont les [[Fraction continue et approximation diophantienne#Théorème de meilleure approximation rationnelle|meilleures approximations rationnelles]] possibles de {{math|π}} par rapport à la taille de leurs dénominateurs. Voici une liste des treize premières fractions :
: <math>\frac31, \frac{22}7, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}, \frac{104348}{33215}, \frac{208341}{66317}, \frac{312689}{99532}, \frac{833719}{265381}, \frac{1146408}{364913}, \frac{4272943}{1360120}, \frac{5419351}{1725033}</math>.

== Logiciels pour calculer {{math|π}} ==
Au cours des années, plusieurs logiciels ont été écrits pour calculer {{math|π}} sur les ordinateurs personnels. Ils impliquent généralement une vérification et un [[Mémoire virtuelle|échange de disque]] efficace pour faciliter des calculs extrêmement coûteux en ressources.

*'''[[Super PI]]''' par [[Yasumasa Kanada|{{langue|en|Kanada Laboratory}}]] à l'université de Tokyo. Il pouvait calculer un million de chiffres en {{nombre|40|minutes}}, deux millions de chiffres en {{nombre|90|minutes}} et quatre millions de chiffres en {{nombre|220|minutes}} sur un Pentium {{nombre|90|MHz}}.
*'''PiFast''' par Xavier Gourdon était le programme le plus rapide sous [[Microsoft Windows|Windows]] en 2003. Selon son auteur, il peut calculer un million de décimales en {{nombre|3.5|secondes}} sur un Pentium de {{nombre|2.4 GHz}} (ordinateur personnel haut-de-gamme à l'époque). PiFast peut également calculer d'autres [[Nombre irrationnel|nombres irrationnels]] comme [[E (nombre)|{{math|e}}]] et {{racine|2}}.
*'''QuickPi''' par Steve Pagliarulo. Comme PiFast, QuickPi peut également calculer d'autres nombres irrationnels comme {{racine|2}} ou [[Racine carrée de trois|{{racine|3}}]]. Le logiciel est disponible sur [http://members.shaw.ca/francislyster/pi/pi.html Stu's Pi].
*'''{{Formule|''y''}}-cruncher'''<ref>{{Lien web |titre=y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program |url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/ |langue=en|auteur=Alexander J. Yee}}</ref> par Alexander Yee est le programme que Shigeru Kondo a utilisé pour calculer le record mondial de 2020 du nombre de décimales et qui a été utilisé pour la plupart des records subséquents. {{Formule|''y''}}-cruncher peut également être utilisé pour calculer d'autres constantes, et atteindre des records mondiaux pour plusieurs d'entre elles.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Approximations of π|798991074|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{Article|langue=en|auteur=[[David H. Bailey]]|auteur2=[[Peter Borwein]]|auteur3=[[Simon Plouffe]]|titre=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|périodique=Math. Comp.|volume=66|numéro=218|date=avril 1997|doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9|lire en ligne=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|pages=903-913}}.
* {{ouvrage|langue=en |auteur={{Lien|trad=Petr Beckmann}} |titre={{Lien|trad=A History of Pi|texte=''A History of'' {{math|π}}}} |année=1971 |éditeur={{Langue|en|[[St. Martin's Press]]}} |lieu=New York |isbn=978-0-88029-418-8 |math reviews=0449960 |plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en |prénom1=Howard |nom1=Eves |titre=An Introduction to the History of Mathematics |éditeur={{langue|en|{{lien|langue=en|trad=Saunders (imprint)|fr=Saunders College Publishing}}}} |année=1992 |numéro d'édition={{6th}} |isbn=978-0-03-029558-4 |isbn10=0-03-029558-0 |plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en |auteur1=K. Jackson |auteur2=J. Stamp |titre=Pyramid : Beyond Imagination. Inside the Great Pyramid of Giza |lieu=Londres |éditeur=[[British Broadcasting Corporation|BBC]] |année=2002 }}.
* {{Ouvrage|langue=en |auteur1=George G. Joseph |titre=The Crest of the Peacock |sous-titre=Non-European Roots of Mathematics |lieu=Londres |éditeur=[[Penguin Books|{{langue|en|Penguin}}]] |année=2000 |isbn=978-0-14-027778-4 |isbn10=0-14-027778-1}}.

=== Articles connexes ===
*[[Journée de pi]]
*[[Point de Feynman]]
*[[Mémorisation des décimales de pi]]
*{{Lien|langue=en|trad=Chronology of computation of π|fr=Chronologie du calcul de π}}

=== Lien externe ===
{{Lien web|langue=en|url=http://www.contestcen.com/pi.htm|titre=PI Competition|site=The Contest Center}} (listes d'approximations de {{math|π}} et liens vers d'autres telles listes)

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]
[[Catégorie:Pi]]